Условие
Точка H — точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC, O — центр окружности, описанной около этого треугольника, M — середина стороны BC. а) Докажите, что AH = 2·OM. б) Найдите OH, если AB = 5, BC = 8, AC = 7.
Подсказка
Проведите диаметр CC′ описанной окружности и сравните четырёхугольник AHBC′ с параллелограммом.
Введите координаты с осью абсцисс по BC: координаты O находятся из OM, а координаты H — из пункта а.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- а) Диаметр CC′
Пусть CC′ — диаметр описанной окружности. Углы CBC′ и CAC′ опираются на диаметр, поэтому они прямые: C′B ⊥ BC и C′A ⊥ AC. Высота AH тоже перпендикулярна BC, а высота BH — AC. Значит, C′B ∥ AH и C′A ∥ BH.
- а) Параллелограмм и средняя линия
Противоположные стороны четырёхугольника AHBC′ попарно параллельны, это параллелограмм, и AH = C′B. В треугольнике CBC′ точка O — середина CC′, M — середина CB, поэтому OM — средняя линия: OM = C′B/2. Отсюда AH = 2·OM.
- б) Координаты вершин
Поместим B(0; 0), C(8; 0). cos B = (AB² + BC² − AC²)/(2·AB·BC) = (25 + 64 − 49)/80 = 1/2, ∠B = 60°, поэтому A(5/2; 5√3/2), а высота из A лежит на прямой x = 5/2.
- б) Центр O и точка H
По теореме синусов R = AC/(2 sin B) = 7/√3 = 7√3/3. Центр O лежит на серединном перпендикуляре x = 4 к BC, выше BC (треугольник остроугольный): OM = √(R² − BM²) = √(49/3 − 16) = √3/3, O(4; √3/3). По пункту а AH = 2·OM = 2√3/3, а H лежит на высоте ниже A: H(5/2; 5√3/2 − 2√3/3) = (5/2; 11√3/6).
- б) Длина OH и проверка
OH² = (4 − 5/2)² + (11√3/6 − 2√3/6)² = 9/4 + (3√3/2)² = 9/4 + 27/4 = 9, OH = 3. Проверка: вектор CH = (−11/2; 11√3/6) и вектор BA = (5/2; 5√3/2), их скалярное произведение −55/4 + 55/4 = 0, то есть H лежит и на высоте из C. Типичная ошибка — отложить AH от A вверх или поместить O ниже BC.
Ответ: 3
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а построен диаметр CC′, доказано, что AHBC′ — параллелограмм и OM — средняя линия треугольника CBC′; в пункте б найдены ∠B = 60°, R = 7√3/3, OM = √3/3, координаты O и H (с учётом AH = 2·OM), получен ответ 3.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 3 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (AH = 2·OM) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (AH = 2·OM), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен ответ 3 в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.