ЕГЭ, задание 17: Планиметрическая задача

Найдите пары подобных треугольников с вершинами M и N: стороны BC и AD, CD и AB параллельны.

Площадь треугольника с общим углом меняется как произведение отношений сторон при этом угле.

1. а) Подобие треугольников при точке M

   Треугольники BMK и DMA подобны: ∠BMK = ∠DMA как вертикальные, ∠MBK = ∠MDA как накрест лежащие при BC ∥ AD и секущей BD. Значит, BM : MD = BK : AD. BK = BC/3 = AD/3, поэтому BM : MD = 1 : 3 и BM = BD/4.

2. а) Подобие треугольников при точке N

   Треугольники DNL и BNA подобны (вертикальные углы при N, накрест лежащие углы при CD ∥ AB): DN : NB = DL : AB = (CD/2) : CD = 1 : 2, поэтому DN = BD/3. Тогда MN = BD − BD/4 − BD/3 = 5BD/12, и BM : MN : ND = (3/12) : (5/12) : (4/12) = 3 : 5 : 4.

3. б) Пятиугольник — треугольник BCD без двух уголков

   Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника: S(BCD) = 48 : 2 = 24. Пятиугольник MKCLN получается из треугольника BCD отрезанием треугольников BMK и DNL.

4. б) Площади отрезанных треугольников

   У треугольников BMK и BDC общий угол B, поэтому S(BMK) : S(BDC) = (BM/BD) · (BK/BC) = (1/4) · (1/3), S(BMK) = 24 : 12 = 2. Аналогично с общим углом D: S(DNL) = (DN/DB) · (DL/DC) · S(DBC) = (1/3) · (1/2) · 24 = 4. S(MKCLN) = 24 − 2 − 4 = 18.

5. Проверяем и записываем ответ

   По пункту а S(AMN) = (5/12) · S(ABD) = 10, и сумма площадей ABM, AMN, AND, BMK, DNL и пятиугольника (6 + 10 + 8 + 2 + 4 + 18) равна 48. Типичная ошибка — считать, что AL делит BD пополам, раз L — середина CD: тогда DN = BD/2 и площадь получится неверной.

Ответ: 18

3

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что BM : MN : ND = 3 : 5 : 4 (подобие треугольников BMK и DMA, DNL и BNA); в пункте б площадь пятиугольника найдена как S(BCD) − S(BMK) − S(DNL) = 24 − 2 − 4 и получен ответ 18.

2

Обоснованно получен верный ответ 18 в пункте б, но доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ верно доказано, что BM : MN : ND = 3 : 5 : 4 (подобие треугольников BMK и DMA, DNL и BNA), а в обоснованном решении пункта б допущена арифметическая ошибка (например, в отношении площадей треугольников с общим углом).

1

Верно доказано только утверждение пункта а (BM : MN : ND = 3 : 5 : 4 (подобие треугольников BMK и DMA, DNL и BNA)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ верный ответ 18 в пункте б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.