Условие
Окружности с центрами O₁ и O₂ радиусов 10 и 17 пересекаются в точках A и B, O₁O₂ = 21. Отрезки BC и BD — диаметры первой и второй окружностей. а) Докажите, что точка A лежит на отрезке CD и CD = 2·O₁O₂. б) Найдите площадь треугольника BCD.
Подсказка
На какие углы опираются диаметры BC и BD, если смотреть из точки A?
O₁ и O₂ — середины сторон треугольника BCD. Площадь треугольника O₁BO₂ легко найти по трём сторонам.
Показать ответ
336
Пошаговое решение
- а) Доказываем, что C, A, D лежат на одной прямой
∠BAC = 90° как вписанный угол, опирающийся на диаметр BC; ∠BAD = 90° как опирающийся на диаметр BD. Через точку A проходит только одна прямая, перпендикулярная AB, поэтому AC и AD лежат на одной прямой. Точки C и D лежат по разные стороны от прямой AB (по ту же сторону, что O₁ и O₂ соответственно, а центры разделены общей хордой), значит, A лежит на отрезке CD.
- а) Средняя линия
O₁ — середина BC, O₂ — середина BD, поэтому O₁O₂ — средняя линия треугольника BCD: CD = 2·O₁O₂ = 2·21 = 42.
- б) Высота треугольника O₁BO₂
В треугольнике O₁BO₂ стороны 10, 17, 21. По формуле Герона: p = 24, S = √(24·14·7·3) = 84. Высота из B на O₁O₂: h = 2S/O₁O₂ = 2·84/21 = 8.
- б) Площадь треугольника BCD
Общая хорда AB перпендикулярна линии центров и делится ею пополам, поэтому AB = 2h = 16. По пункту а AB ⊥ CD, то есть BA — высота треугольника BCD: S = CD·AB/2 = 42·16/2 = 336.
- Проверка
Треугольник BCD подобен треугольнику BO₁O₂ с коэффициентом 2, поэтому его площадь в 4 раза больше: 4·84 = 336. Типичная ошибка — взять высотой h = 8 вместо AB = 2h или принять CD равным сумме радиусов 27.
Ответ: 336
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что точка A лежит на CD (два прямых угла BAC и BAD) и CD = 2·O₁O₂ (средняя линия); в пункте б найдены площадь треугольника O₁BO₂ 84, AB = 16, обосновано, что BA — высота треугольника BCD, и получена площадь 336.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б, а доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (C, A, D на одной прямой и CD = 2·O₁O₂) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в формуле Герона или в длине общей хорды 16).
- 1
- Имеется только верное доказательство пункта а (C, A, D на одной прямой и CD = 2·O₁O₂), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в формуле Герона или в длине общей хорды 16), ИЛИ верный ответ пункта б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.