Условие
В треугольнике ABC точки D и E лежат на сторонах BC и CA, BD:DC=2:3, CE:EA=3:4. AD и BE пересекаются в P. Прямая CP пересекает AB в F, AB=3. а) Докажите, что AF:FB=2:1. б) Найдите AF.
Подсказка
Расстояния B и C до AD относятся как BD:DC=2:3. Поэтому S_ABP:S_ACP=2:3.
Расстояния C и A до BE относятся как CE:EA=3:4. При общем основании BP имеем S_BCP:S_ABP=3:4.
Показать ответ
а) AF:FB=2:1; б) 2
Пошаговое решение
- Сравниваем площади с основанием AP
Расстояния B и C до AD относятся как BD:DC=2:3. Поэтому S_ABP:S_ACP=2:3.
- Используем вторую секущую
Расстояния C и A до BE относятся как CE:EA=3:4. При общем основании BP имеем S_BCP:S_ABP=3:4.
- Приводим площади к общей мере
Можно записать S_ABP=4s, S_ACP=6s, S_BCP=3s. При общем основании CP отношение последних двух площадей равно расстояниям A и B до CF, то есть AF:FB.
- Доказываем отношение и находим отрезок
AF:FB=6s:3s=2:1. Значит AF=(2/3)AB=(2/3)·3=2.
Ответ: а) AF:FB=2:1; б) 2