Условие
Окружность, построенная на стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC в точках K и L соответственно. а) Докажите, что треугольник AKL подобен треугольнику ACB. б) Найдите отношение площади треугольника AKL к площади четырёхугольника BKLC, если AB = 14, AC = 15, BC = 13.
Подсказка
Четырёхугольник BKLC вписан в окружность. Чему равен угол AKL?
Угол BKC опирается на диаметр. Выразите AK через AC и косинус угла A.
Показать ответ
9/16
Пошаговое решение
- а) Вписанный четырёхугольник BKLC
Точки B, K, L, C лежат на одной окружности, поэтому ∠BKL + ∠BCL = 180° (сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника). Угол AKL смежный с углом BKL, значит, ∠AKL = 180° − ∠BKL = ∠BCL = ∠ACB.
- а) Признак подобия
В треугольниках AKL и ACB угол A общий и ∠AKL = ∠ACB, поэтому они подобны по двум углам (вершине K соответствует C, вершине L — B).
- б) Коэффициент подобия
∠BKC = 90° — вписанный угол, опирающийся на диаметр BC, поэтому в прямоугольном треугольнике AKC AK = AC·cos A, и коэффициент подобия k = AK/AC = cos A. По теореме косинусов cos A = (AB² + AC² − BC²)/(2·AB·AC) = (196 + 225 − 169)/420 = 3/5.
- б) Отношение площадей
S(AKL) : S(ABC) = k² = 9/25. Четырёхугольник BKLC — треугольник ABC без треугольника AKL, поэтому S(BKLC) = (1 − 9/25)·S(ABC) = (16/25)·S(ABC) и S(AKL) : S(BKLC) = (9/25) : (16/25) = 9/16.
- Проверка и типичная ошибка
AK = 15·(3/5) = 9, AL = 14·(3/5) = 42/5; S(AKL) : S(ABC) = (AK·AL) : (AB·AC) = (378/5) : 210 = 9/25 — совпадает. Типичные ошибки — считать отношение площадей равным k = 3/5 или ответить 9/25 (это отношение к площади всего треугольника).
Ответ: 9/16
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а из вписанности BKLC получено ∠AKL = ∠ACB и подобие по двум углам с общим углом A; в пункте б найден коэффициент подобия cos A = 3/5 (с обоснованием, что CK — высота), отношение площадей 9/25 и площадь BKLC как разность, получен ответ 9/16.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 9/16 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (треугольники AKL и ACB подобны) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (треугольники AKL и ACB подобны), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен ответ 9/16 в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.