Условие
В параллелограмме ABCD стороны AB = 5 и AD = 9, угол BAD равен 60°. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K, углов B и C — в точке L, углов C и D — в точке M, углов D и A — в точке N. а) Докажите, что четырёхугольник KLMN — прямоугольник. б) Найдите площадь прямоугольника KLMN.
Подсказка
Чему равна сумма двух соседних углов параллелограмма? Какой угол образуют их биссектрисы?
Найдите AK и AN, BK и BL из прямоугольных треугольников с гипотенузами AB, AD и BC.
Показать ответ
4√3
Пошаговое решение
- а) Биссектрисы соседних углов перпендикулярны
∠A + ∠B = 180° как односторонние углы при AD ∥ BC и секущей AB. В треугольнике ABK углы при A и B — половины этих углов, их сумма 90°, поэтому ∠AKB = 90°. Так же доказываем, что ∠BLC = ∠CMD = ∠DNA = 90°: любые два соседних угла параллелограмма в сумме дают 180°.
- а) Все углы KLMN прямые
Точки K и N лежат на биссектрисе угла A (AK < AN), K и L — на биссектрисе угла B, L и M — на биссектрисе угла C, M и N — на биссектрисе угла D. Угол NKL вертикален углу AKB, угол LMN — углу CMD, а углы KLM и MNK совпадают с углами BLC и DNA. Значит, все четыре угла четырёхугольника KLMN прямые, и KLMN — прямоугольник.
- б) Отрезки биссектрис из прямоугольных треугольников
∠BAK = 30°, ∠ABK = 60°. В прямоугольном треугольнике ABK: AK = AB · cos 30° = 5√3/2, BK = AB · cos 60° = 5/2. В прямоугольном треугольнике AND (∠DAN = 30°): AN = AD · cos 30° = 9√3/2. В прямоугольном треугольнике BLC (∠CBL = 60°): BL = BC · cos 60° = 9/2.
- б) Стороны и площадь прямоугольника
KN = AN − AK = (9 − 5)√3/2 = 2√3, KL = BL − BK = (9 − 5)/2 = 2. S(KLMN) = KL · KN = 2 · 2√3 = 4√3.
- Проверяем и записываем ответ
Диагональ прямоугольника KM = √(2² + (2√3)²) = 4 = AD − AB — известное свойство такого прямоугольника, совпадает. Типичная ошибка — сложить отрезки биссектрисы: KN = AN + AK = 7√3 вместо разности; точка K лежит между A и N.
Ответ: 4√3
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что все углы KLMN прямые (биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны); в пункте б из прямоугольных треугольников ABK, AND, BLC найдены KN = 2√3 и KL = 2 и получен ответ 4√3.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 4√3 в пункте б, но доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ верно доказано, что все углы KLMN прямые (биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны), а в обоснованном решении пункта б допущена арифметическая ошибка (например, в значении cos 30° или в разности AN − AK).
- 1
- Верно доказано только утверждение пункта а (все углы KLMN прямые (биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ верный ответ 4√3 в пункте б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.