Условие
Две окружности одинакового радиуса пересекаются в точках A и B. Их общая касательная касается окружностей в точках P и Q, причём точка A ближе к прямой PQ, чем точка B. а) Докажите, что прямая AB делит отрезок PQ пополам. б) Найдите радиус окружностей, если PQ = 12, AB = 5.
Подсказка
Сравните отрезки касательных MP и MQ из точки M пересечения прямых AB и PQ с помощью секущей MAB.
Центр окружности одновременно лежит на перпендикуляре к PQ в точке касания и на серединном перпендикуляре к хорде AB.
Показать ответ
13/2
Пошаговое решение
- а) Где прямая AB пересекает PQ
Центры O₁ и O₂ удалены от касательной PQ на одно и то же расстояние (радиус) и лежат по одну сторону от неё, поэтому O₁O₂ ∥ PQ. Общая хорда AB перпендикулярна линии центров, значит, AB ⊥ PQ, и прямая AB пересекает прямую PQ в некоторой точке M; A и B лежат по одну сторону от M.
- а) Применяем теорему о касательной и секущей
Для первой окружности MP — отрезок касательной, MAB — секущая: треугольники MPA и MBP подобны (угол M общий, ∠MPA = ∠MBP как угол между касательной и хордой и вписанный угол), поэтому MP² = MA·MB. Для второй окружности так же MQ² = MA·MB. Значит, MP = MQ: прямая AB делит PQ пополам.
- б) Находим MA и MB
MP = 12/2 = 6. Пусть MA = x, тогда MB = x + 5 и x(x + 5) = 36, x² + 5x − 36 = 0, x = 4 (отрицательный корень не подходит). MB = 9.
- б) Находим радиус
Центр O₁ лежит на перпендикуляре к PQ в точке P (радиус в точку касания), то есть на расстоянии r от PQ. Кроме того, O₁ лежит на серединном перпендикуляре к хорде AB; так как AB ⊥ PQ, это прямая, параллельная PQ и проходящая через середину AB. Значит, r равен расстоянию от середины AB до PQ: r = MA + AB/2 = 4 + 5/2 = 13/2.
- Проверка
В координатах P(−6; 0), O₁(−6; 13/2), A(0; 4): O₁A² = 36 + (13/2 − 4)² = 169/4 = r². Типичная ошибка — считать, что M — середина AB, или взять MA·MB = MP вместо MP².
Ответ: 13/2
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что MP² = MA·MB = MQ² (теорема о касательной и секущей для обеих окружностей), поэтому MP = MQ; в пункте б из уравнения x(x + 5) = 36 найдены MA = 4, MB = 9, обосновано, что радиус равен расстоянию от середины AB до PQ, получен радиус 13/2.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б, а доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (MP = MQ через касательную и секущую) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, при решении квадратного уравнения или в сумме 4 + 5/2).
- 1
- Имеется только верное доказательство пункта а (MP = MQ через касательную и секущую), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, при решении квадратного уравнения или в сумме 4 + 5/2), ИЛИ верный ответ пункта б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.