ЕГЭ, задание 17: Планиметрическая задача

Проведите общую касательную в точке K до пересечения с AB. Что можно сказать об отрезках касательных из точки пересечения?

Центр каждой окружности лежит на биссектрисе угла между касательными из этой точки. Какой угол образуют две такие биссектрисы?

1. а) Проводим общую касательную в точке K

   Проведём через K общую касательную окружностей (она перпендикулярна линии центров O₁O₂). Она пересекает AB в точке M. MA и MK — отрезки касательных, проведённых из M к первой окружности, поэтому MA = MK; MB и MK — отрезки касательных ко второй окружности, поэтому MB = MK.

2. а) Доказываем, что угол AKB прямой

   Треугольники AMK и BMK равнобедренные: ∠MAK = ∠MKA = α, ∠MBK = ∠MKB = β. Сумма углов треугольника AKB: α + β + (α + β) = 180°, откуда ∠AKB = α + β = 90°. (Иначе: медиана KM равна половине AB.)

3. б) Находим MK и AB

   O₁M и O₂M — биссектрисы смежных углов AMK и KMB (центр окружности лежит на биссектрисе угла между касательными), поэтому ∠O₁MO₂ = 90°. MK ⊥ O₁O₂, значит, MK — высота прямоугольного треугольника O₁MO₂, проведённая к гипотенузе: MK² = O₁K·KO₂ = 9·4 = 36, MK = 6, AB = 2MK = 12.

4. б) Находим катеты AK и BK

   O₁A = O₁K и MA = MK, поэтому O₁M — серединный перпендикуляр к AK. В прямоугольном треугольнике O₁AM: O₁M = √(9² + 6²) = 3√13, высота из A равна AM·O₁A/O₁M, а AK — удвоенная высота: AK = 2·6·9/(3√13) = 36√13/13. Аналогично O₂M = √(4² + 6²) = 2√13, BK = 2·6·4/(2√13) = 24√13/13.

5. б) Площадь и проверка

   Треугольник AKB прямоугольный, S = AK·BK/2 = (864/13)/2 = 432/13. Проверка: AK² + BK² = 1296/13 + 576/13 = 144 = AB². Типичная ошибка — считать AB равным расстоянию между центрами 13: AB — отрезок касательной, он меньше O₁O₂.

Ответ: 432/13

3

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что угол AKB прямой (общая касательная в точке K, равенство отрезков касательных MA = MK = MB); в пункте б обоснованно найдены MK = 6, катеты AK = 36√13/13, BK = 24√13/13 и площадь 432/13.

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте б, а доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (MA = MK = MB, угол AKB прямой) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в MK² = 36 или в длине O₁M = 3√13).

1

Имеется только верное доказательство пункта а (MA = MK = MB, угол AKB прямой), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в MK² = 36 или в длине O₁M = 3√13), ИЛИ верный ответ пункта б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.