Условие
Найдите все значения параметра a, при которых прямая y=ax+13 имеет ровно одну общую точку с окружностью x²+y²=25.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 10: Ровно одна общая точка означает касание. Сравните расстояние от начала координат до прямой с радиусом.
Шаг 2 для варианта 10: Для ax−y+13=0 расстояние равно 13/√(a²+1).
Показать ответ
−2,4; 2,4
Пошаговое решение
- Не теряем случаи
После разложения на множители или введения замены рассматриваем каждую ветвь отдельно. Учитываем ограничения для новой переменной и возвращаемся к исходной. Если требуется число различных корней, совпавшие корни учитываем один раз.
- Намечаем ход решения
Ровно одна общая точка означает касание. Сравните расстояние от начала координат до прямой с радиусом. Для ax−y+13=0 расстояние равно 13/√(a²+1).
- Выполняем преобразование
Прямая касается окружности тогда и только тогда, когда расстояние от её центра O(0;0) до ax−y+13=0 равно 5.
- Получаем следующий результат
Получаем 13/√(a²+1)=5.
- Получаем следующий результат
Следовательно, a²=169/25−1=144/25, откуда a=±2,4.
- Выполняем преобразование
При меньшем модуле расстояние до центра больше радиуса и общих точек нет; при большем модуле расстояние меньше радиуса и прямая секущая.
Ответ: −2,4; 2,4