Условие
На промежутке x>0,25 рассмотрено уравнение (log₂x−a)(log₂x−3)=0. Найдите все a, при которых оно имеет ровно одно решение.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 7: Сделайте замену t=log₂x. Условие x>0,25 равносильно t>-2.
Шаг 2 для варианта 7: Один корень t=3 всегда допустим. Второй либо должен быть недопустим, либо совпасть с первым.
Показать ответ
(−∞; −2] ∪ {3}
Пошаговое решение
- Правила логарифмов
Для log_a(b) нужны a>0, a≠1 и b>0. Равенство log_a(b)=c означает b=a^c. Сумму логарифмов одного основания можно заменить логарифмом произведения только при положительности обоих аргументов. В неравенстве основание a>1 сохраняет знак, а 0<a<1 меняет его.
- Намечаем ход решения
Сделайте замену t=log₂x. Условие x>0,25 равносильно t>-2. Один корень t=3 всегда допустим. Второй либо должен быть недопустим, либо совпасть с первым.
- Вводим обозначения
Пусть t=log₂x.
- Выполняем преобразование
На заданном промежутке t>-2.
- Выполняем преобразование
Уравнение даёт t=a или t=3; второй корень всегда допустим.
- Выполняем преобразование
Если a≤-2, корень t=a не попадает в область, и остаётся одно решение.
- Выполняем преобразование
Если a=3, два значения t совпадают.
- Выполняем преобразование
При a>-2, a≠3, получаются два различных решения.
Ответ: (−∞; −2] ∪ {3}