ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Когда произведение двух выражений равно нулю и есть ли здесь ограничения на x и y?

Посчитайте отдельно точки на каждой части первого уравнения и не забудьте, что точка может принадлежать обеим частям сразу.

1. Разбираем первое уравнение

   Оба множителя определены при всех x и y, поэтому произведение равно нулю, когда x² + y² − 10x = 0 или y = 3. Первое — окружность ω: (x − 5)² + y² = 25 с центром (5; 0) и радиусом 5, второе — прямая ℓ: y = 3. Множество решений первого уравнения — объединение ω и ℓ. Второе уравнение задаёт прямую m: y = x + a с угловым коэффициентом 1; при изменении a она сдвигается параллельно.

2. Общие точки m с прямой ℓ

   Угловые коэффициенты 1 и 0 различны, поэтому при любом a есть ровно одна точка: x + a = 3, точка (3 − a; 3).

3. Общие точки m с окружностью ω

   Подставим y = x + a: x² + (x + a)² − 10x = 0, 2x² + (2a − 10)x + a² = 0, D/4 = (a − 5)² − 2a² = 25 − 10a − a². Две точки при a² + 10a − 25 < 0, то есть при −5 − 5√2 < a < 5√2 − 5; одна (касание) при a = −5 ± 5√2; ни одной вне отрезка. Геометрически: расстояние |a + 5|/√2 от центра (5; 0) до m сравниваем с радиусом 5.

4. Ищем совпадения точек

   Точка (3 − a; 3) лежит на ω, если (3 − a)² + 9 − 10(3 − a) = 0, то есть a² + 4a − 12 = 0, a = 2 или a = −6 (точки (1; 3) и (9; 3)). Оба значения лежат внутри промежутка из шага 3, поэтому при них одна из двух точек на окружности совпадает с точкой на ℓ и различных решений два. Точка касания имеет ординату (5 + a)/2 = ±5√2/2 ≠ 3, поэтому при касании совпадения нет: решений 1 + 1 = 2.

5. Подводим итог

   Ровно три решения (две точки на ω и одна на ℓ, все различны) при −5 − 5√2 < a < 5√2 − 5, кроме a = −6 и a = 2. Ответ: a ∈ (−5 − 5√2; −6) ∪ (−6; 2) ∪ (2; 5√2 − 5). Типичная ошибка — забыть о совпадении точек и записать весь промежуток (−5 − 5√2; 5√2 − 5); проверка при a = 2: x² − 3x + 2 = 0 даёт x = 1 и x = 2, а точка на ℓ — (1; 3), то есть решений только два.

Ответ: a ∈ (−5 − 5√2; −6) ∪ (−6; 2) ∪ (2; 5√2 − 5)

4

Обоснованно получен ответ a ∈ (−5 − 5√2; −6) ∪ (−6; 2) ∪ (2; 5√2 − 5): первое уравнение сведено к объединению окружности (x − 5)² + y² = 25 и прямой y = 3, найдены значения касания a = −5 ± 5√2 и значения a = −6, a = 2, при которых точка прямой y = 3 лежит на окружности.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, не исключены a = −6 и (или) a = 2, или включены концы a = −5 ± 5√2.

2

С помощью верного рассуждения найдены все граничные точки −5 − 5√2, −6, 2, 5√2 − 5, но множество по ним составлено неверно или не обосновано, что на прямой y = 3 всегда ровно одна точка.

1

Задача верно сведена к подсчёту общих точек прямой y = x + a с объединением окружности (x − 5)² + y² = 25 и прямой y = 3, ИЛИ верно найдена хотя бы одна граничная точка (например, касание a = 5√2 − 5).

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.