ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Как выглядит множество (x − 3)² + (y − 3)² = 2 в первой четверти и что делают модули с остальными четвертями?

Сравните расстояние от центра каждой окружности до прямой y = x + a с радиусом; не пропустите положения, где прямая касается сразу двух окружностей.

1. Строим множество, заданное первым уравнением

   Уравнение не меняется при замене x → −x и при замене y → −y, поэтому его график симметричен относительно обеих осей. При x ≥ 0, y ≥ 0 получаем (x − 3)² + (y − 3)² = 2 — окружность ω₁ с центром (3; 3) и радиусом √2; так как 3 − √2 > 0, она целиком лежит в первой четверти. Отражая, получаем ещё три окружности: ω₂ с центром (−3; 3), ω₃ — (−3; −3), ω₄ — (3; −3). Расстояние между центрами не меньше 6 > 2√2, поэтому окружности не пересекаются. Второе уравнение — прямая ℓ: y = x + a с угловым коэффициентом 1, при изменении a она сдвигается параллельно. Число решений равно числу общих точек ℓ с четырьмя окружностями.

2. Расстояния от центров до прямой

   Прямая ℓ: x − y + a = 0, расстояние от точки (x₀; y₀) до неё равно |x₀ − y₀ + a|/√2. Для ω₁ и ω₃ это |a|/√2, для ω₂ — |a − 6|/√2, для ω₄ — |a + 6|/√2. Прямая пересекает окружность радиуса √2 в двух точках, если расстояние меньше √2, то есть |x₀ − y₀ + a| < 2; касается при |x₀ − y₀ + a| = 2; иначе общих точек нет. Окружности не пересекаются, поэтому точки на разных окружностях различны и их число складывается.

3. Сколько точек даёт каждая окружность

   ω₁ и ω₃ — одновременно: по две точки при |a| < 2 (всего 4), касание обеих при a = ±2 (всего 2 точки). ω₂: две точки при 4 < a < 8, одна при a = 4 и a = 8. ω₄: две точки при −8 < a < −4, одна при a = −8 и a = −4. Промежутки |a| ≤ 2, 4 ≤ a ≤ 8 и −8 ≤ a ≤ −4 не пересекаются, поэтому при каждом a работает не больше одного «слоя» окружностей.

4. Подсчитываем решения

   a < −8: 0; a = −8: 1; −8 < a < −4: 2; a = −4: 1; −4 < a < −2: 0; a = −2: 2; −2 < a < 2: 4; a = 2: 2; 2 < a < 4: 0; a = 4: 1; 4 < a < 8: 2; a = 8: 1; a > 8: 0. Проверка при a = 2: прямая y = x + 2 касается ω₁ в точке (2; 4) и ω₃ в точке (−4; −2) — ровно два решения.

5. Записываем ответ

   Ровно два решения при −8 < a < −4, при 4 < a < 8 и при a = ±2. Ответ: a ∈ (−8; −4) ∪ (4; 8); a = −2; a = 2. Типичные ошибки — рассмотреть только окружность первой четверти (модули дают четыре окружности) или считать, что при касании решение одно, и потерять a = ±2, где прямая касается сразу двух окружностей.

Ответ: a ∈ (−8; −4) ∪ (4; 8); a = −2; a = 2

4

Обоснованно получен ответ a ∈ (−8; −4) ∪ (4; 8); a = −2; a = 2: первое уравнение истолковано как четыре окружности радиуса √2 с центрами (±3; ±3), для каждой найдено число общих точек с прямой y = x + a через расстояние |x₀ − y₀ + a|/√2, учтено одновременное касание двух окружностей при a = ±2.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, потеряны a = ±2 (не замечено, что прямая касается сразу двух окружностей) или включены a = ±4, ±8, где решение одно.

2

С помощью верного рассуждения найдены все граничные точки ±2, ±4, ±8, но число решений на промежутках между ними определено неверно (например, при |a| < 2 учтена только одна окружность).

1

Задача верно сведена к исследованию общих точек прямой y = x + a с объединением четырёх окружностей (|x| − 3)² + (|y| − 3)² = 2, ИЛИ верно найдена хотя бы одна граничная точка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.