ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Раскройте модули на промежутках x ≤ −2, −2 ≤ x ≤ 1, x ≥ 1: какой вид имеет левая часть на каждом из них?

Когда непрерывная функция принимает каждое значение ровно один раз? Сравните знаки угловых коэффициентов.

1. Раскрываем модули

   Пусть f(x) = ax + |x − 1| − 2|x + 2|. При x ≤ −2: f(x) = ax + 1 − x + 2x + 4 = (a + 1)x + 5. При −2 ≤ x ≤ 1: f(x) = ax + 1 − x − 2x − 4 = (a − 3)x − 3. При x ≥ 1: f(x) = ax + x − 1 − 2x − 4 = (a − 1)x − 5. В точках стыка значения совпадают: f(−2) = 3 − 2a, f(1) = a − 6. Значит, f непрерывна, её график — ломаная из луча, отрезка и луча с угловыми коэффициентами a + 1, a − 3 и a − 1.

2. Переформулируем условие

   Уравнение f(x) = b при любом b имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда f принимает каждое значение ровно один раз. Если все три коэффициента положительны (или все отрицательны), f строго возрастает (убывает) и стремится к ±∞ на концах; непрерывная функция принимает все значения, причём каждое — один раз. Покажем, что при остальных a условие нарушено.

3. Все коэффициенты одного знака

   Все положительны: a + 1 > 0, a − 3 > 0, a − 1 > 0 ⇔ a > 3. Все отрицательны: a + 1 < 0, a − 3 < 0, a − 1 < 0 ⇔ a < −1. При этих a условие выполнено.

4. Остальные значения −1 ≤ a ≤ 3

   a = −1: f(x) = 5 на всём луче x ≤ −2 — при b = 5 корней бесконечно много. −1 < a ≤ 1: a + 1 > 0 и a − 1 ≤ 0, поэтому f ограничена сверху (на левом луче f ≤ f(−2), на правом f ≤ f(1), на отрезке — не больше большего из этих чисел), и при больших b корней нет. 1 < a < 3: f возрастает на левом луче до f(−2) = 3 − 2a, убывает на отрезке до f(1) = a − 6 < 3 − 2a и снова возрастает; при b между a − 6 и 3 − 2a корней три (например, a = 2, b = −2: x = −7/3, x = −1, x = 3). a = 3: f(x) = −3 на всём отрезке [−2; 1] — при b = −3 корней бесконечно много.

5. Записываем ответ

   Ровно один корень при любом b получается при a < −1 и при a > 3. Ответ: a ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞). Типичная ошибка — потребовать только, чтобы f принимала все значения (крайние коэффициенты a + 1 и a − 1 одного знака), и получить (−∞; −1) ∪ (1; +∞): при 1 < a ≤ 3 для некоторых b корней три или бесконечно много.

Ответ: a ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞)

4

Обоснованно получен ответ a ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞): модули раскрыты на трёх промежутках, найдены угловые коэффициенты a + 1, a − 3, a − 1, условие сведено к строгой монотонности непрерывной функции, разобраны значения −1 ≤ a ≤ 3 (в том числе a = −1 и a = 3, где есть горизонтальное звено).

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, включены a = −1 или a = 3, где f постоянна на луче или отрезке и при b = 5 или b = −3 корней бесконечно много.

2

С помощью верного рассуждения найдены все граничные точки −1 и 3 (нули угловых коэффициентов a + 1 и a − 3), но множество составлено неверно: например, перепутаны знаки или записан только один промежуток.

1

Модули верно раскрыты и найдены угловые коэффициенты звеньев a + 1, a − 3, a − 1 (задача сведена к исследованию монотонности кусочно-линейной функции), ИЛИ верно найдена хотя бы одна граничная точка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.