ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Что происходит с уравнением при замене x на −x? Какой корень может быть единственным?

Найдя кандидатов для a, сравните наименьшее значение левой части с наибольшим значением правой.

1. Используем чётность

   Обе части не меняются при замене x на −x: |−x| = |x|, cos(−x) = cos x. Значит, если x₀ — корень, то −x₀ тоже корень. Корни с x₀ ≠ 0 идут парами, поэтому единственным может быть только корень x = 0.

2. Находим необходимое условие

   Подставляем x = 0: слева 2⁰ + 0 = 1, справа a² − a − 1 + (a + 1)·1 = a². Получаем a² = 1, a = 1 или a = −1. При других a корень (если он есть) не единственный, и они не подходят.

3. Проверяем a = 1

   Уравнение: 2^|x| + |x| = 2cos x − 1. Левая часть не меньше 1 (2^|x| ≥ 1, |x| ≥ 0) и равна 1 только при x = 0. Правая часть не больше 2·1 − 1 = 1. Равенство возможно, только если обе части равны 1, то есть при x = 0 (и cos 0 = 1 подтверждает). Корень единственный — a = 1 подходит.

4. Проверяем a = −1

   Тогда a² − a − 1 = 1 + 1 − 1 = 1, а a + 1 = 0, косинус исчезает: 2^|x| + |x| = 1. Функция 2^t + t возрастает при t = |x| ≥ 0 и равна 1 только при t = 0. Единственный корень x = 0 — a = −1 тоже подходит.

5. Записываем ответ

   Оба значения, полученные из необходимого условия, выдержали проверку: a = −1 и a = 1. Типичная ошибка — остановиться на условии a² = 1 без проверки: найденный корень x = 0 ещё не означает, что других корней нет; здесь это доказано оценкой (a = 1) и монотонностью (a = −1).

Ответ: a = −1; a = 1

4

Обоснованно получен ответ a = −1; a = 1: из чётности выведено, что единственный корень — x = 0, найдено a² = 1, и для каждого из значений a = 1 и a = −1 доказано отсутствие других корней.

3

Верно найдены кандидаты a = ±1, но достаточность доказана только для одного из них, а второе значение без обоснования отброшено (ответ отличается от верного одной точкой).

2

Верно использована чётность и получены оба кандидата a = 1 и a = −1, но проверка достаточности не проведена или проведена с ошибкой (оценки частей не обоснованы).

1

Замечено, что корни идут парами x₀ и −x₀, и задача сведена к условию «x = 0 — корень», либо верно найдено хотя бы одно из значений a.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.