ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Запишите теорему Виета и исключите параметр a из двух полученных равенств.

Добавьте к обеим частям такое число, чтобы выражение с корнями разложилось на множители вида (x₁ + c)(x₂ + c).

1. Записываем теорему Виета

   Пусть x₁, x₂ — корни уравнения (при D = 0 считаем x₁ = x₂). Тогда x₁ + x₂ = −a и x₁x₂ = 3a + 3.

2. Исключаем параметр

   Из первого равенства a = −(x₁ + x₂); подставляем во второе: x₁x₂ = −3(x₁ + x₂) + 3, то есть x₁x₂ + 3x₁ + 3x₂ + 9 = 12, (x₁ + 3)(x₂ + 3) = 12. Если корни целые, то m = x₁ + 3 и n = x₂ + 3 — целые числа с произведением 12. Двойной корень невозможен: (x₀ + 3)² = 12 не имеет целых решений, так как 12 — не квадрат целого числа.

3. Доказываем обратное

   Пусть m·n = 12 при целых m, n и a = 6 − m − n. Числа x₁ = m − 3 и x₂ = n − 3 имеют сумму m + n − 6 = −a и произведение mn − 3(m + n) + 9 = 21 − 3(m + n) = 3(6 − m − n) + 3 = 3a + 3, поэтому по теореме, обратной теореме Виета, это корни уравнения, и они целые. Значит, нужные a — это в точности числа 6 − m − n.

4. Перебираем разложения числа 12

   Порядок множителей не важен (он лишь меняет местами x₁ и x₂). 12 = 1·12 = 2·6 = 3·4 = (−1)·(−12) = (−2)·(−6) = (−3)·(−4). Значения a = 6 − (m + n): 6 − 13 = −7; 6 − 8 = −2; 6 − 7 = −1; 6 + 13 = 19; 6 + 8 = 14; 6 + 7 = 13. Проверка: a = −1: x² − x = 0, корни 0 и 1; a = 13: x² + 13x + 42 = 0, корни −7 и −6; a = 19: x² + 19x + 60 = 0, корни −15 и −4.

5. Записываем ответ

   Ответ: a = −7; a = −2; a = −1; a = 13; a = 14; a = 19. Типичные ошибки — рассмотреть только положительные делители числа 12 и потерять a = 13, 14, 19, или подбирать a, при которых дискриминант a² − 12a − 12 — полный квадрат, без доказательства, что других значений нет.

Ответ: a = −7; a = −2; a = −1; a = 13; a = 14; a = 19

4

Обоснованно получен ответ a = −7; a = −2; a = −1; a = 13; a = 14; a = 19: по теореме Виета исключён параметр и получено (x₁ + 3)(x₂ + 3) = 12, разобраны все разложения 12 на два целых множителя (включая отрицательные), исключён двойной корень, по каждой паре найдено a и проверены корни.

3

Получено (x₁ + 3)(x₂ + 3) = 12 и разобраны все разложения, но ответ отличается от верного одним-двумя значениями из-за вычислительной ошибки при переходе от пары корней к a.

2

Получено (x₁ + 3)(x₂ + 3) = 12 и верно найдены значения a для части разложений: например, рассмотрены только положительные делители и получены лишь a = −7; a = −2; a = −1.

1

Верно записаны соотношения Виета x₁ + x₂ = −a, x₁x₂ = 3a + 3 и задача сведена к поиску целых пар корней, ИЛИ верно найдено хотя бы одно значение a с проверкой, что оба корня целые.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.