Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x² − ax + 2a − 3 = 0 имеет два различных корня x₁ и x₂, удовлетворяющих условию x₁² + x₂² ≤ 11.
Подсказка
Сначала выясните, при каких a у уравнения вообще есть два различных корня.
Выразите x₁² + x₂² через x₁ + x₂ и x₁x₂.
Показать ответ
a ∈ [−1; 2)
Пошаговое решение
- Условие существования двух различных корней
D = a² − 4(2a − 3) = a² − 8a + 12 = (a − 2)(a − 6) > 0 ⇔ a < 2 или a > 6. Только при этих a имеет смысл говорить о корнях x₁ и x₂.
- Выражаем x₁² + x₂² по теореме Виета
x₁ + x₂ = a, x₁x₂ = 2a − 3. Тогда x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = a² − 2(2a − 3) = a² − 4a + 6.
- Решаем неравенство относительно a
a² − 4a + 6 ≤ 11 ⇔ a² − 4a − 5 ≤ 0 ⇔ (a − 5)(a + 1) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ a ≤ 5.
- Пересекаем с условием D > 0
[−1; 5] ∩ ((−∞; 2) ∪ (6; +∞)) = [−1; 2). Например, a = 4 удовлетворяет неравенству a² − 4a + 6 ≤ 11, но уравнение x² − 4x + 5 = 0 корней не имеет (D = −4), а при a = 2 корень x = 1 двойной.
- Проверяем граничную точку и записываем ответ
При a = −1: x² + x − 5 = 0, D = 21 > 0, x₁ + x₂ = −1, x₁x₂ = −5, x₁² + x₂² = 1 + 10 = 11 ≤ 11 — значение входит. Ответ: a ∈ [−1; 2). Типичная ошибка — забыть условие D > 0 и записать [−1; 5].
Ответ: a ∈ [−1; 2)
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Обоснованно получен ответ a ∈ [−1; 2): найдено условие D > 0 (a < 2 или a > 6), по теореме Виета x₁² + x₂² = a² − 4a + 6, решено неравенство −1 ≤ a ≤ 5 и выполнено пересечение.
- 3
- С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от [−1; 2) конечным числом точек: например, исключено a = −1 или включено a = 2 (двойной корень).
- 2
- С помощью верного рассуждения найдены граничные точки −1 и 2, но множество записано неверно, например пересечение с условием D > 0 выполнено с ошибкой.
- 1
- Верно выражено x₁² + x₂² = a² − 4a + 6 по теореме Виета или верно записано условие существования двух различных корней; либо найдена хотя бы одна граничная точка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.