ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Что произойдёт с системой, если поменять местами x и y?

Для проверки найденного значения сложите два неравенства и выделите полные квадраты.

1. Используем симметрию

   При перестановке x и y первое неравенство переходит во второе и наоборот. Поэтому если (x₀; y₀) — решение, то и (y₀; x₀) — решение. При x₀ ≠ y₀ это два разных решения, значит, единственное решение имеет вид (x₀; x₀).

2. Исследуем решения на прямой y = x

   При y = x оба неравенства совпадают: x ≥ x² + 3x + a ⇔ x² + 2x + a ≤ 0. Все такие x дают решения (x; x). При a < 1 (D/4 = 1 − a > 0) их целый отрезок — бесконечно много, при a > 1 их нет, и по шагу 1 единственного решения быть не может. Остаётся a = 1 (D = 0).

3. Проверяем a = 1

   Сложим неравенства: x + y ≥ x² + 3x + 1 + y² + 3y + 1 ⇔ x² + 2x + 1 + y² + 2y + 1 ≤ 0 ⇔ (x + 1)² + (y + 1)² ≤ 0. Это возможно только при x = y = −1. Подстановка: −1 ≥ 1 − 3 + 1 = −1 — верно для обоих неравенств. Решение (−1; −1) единственно.

4. Почему при a > 1 решений нет вообще

   Тем же сложением получаем (x + 1)² + (y + 1)² ≤ 2 − 2a < 0 — невозможно. Это подтверждает, что единственное подходящее значение — a = 1.

5. Записываем ответ

   Ответ: a = 1. Типичные ошибки — остановиться на необходимом условии D = 0 без проверки достаточности или считать, что при a < 1 решение «одно на диагонали», забыв, что там целый отрезок решений.

Ответ: a = 1

4

Обоснованно получен ответ a = 1: из симметрии x ↔ y выведено, что решение лежит на прямой y = x, получено условие D = 0, сложением неравенств доказана единственность решения (−1; −1) при a = 1.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек, или получен ответ a = 1, но достаточность (единственность при a = 1) обоснована с неточностью.

2

С помощью верного рассуждения из симметрии и условия на прямой y = x найдено значение a = 1, но достаточность не доказана (нет проверки, что других решений вне прямой y = x нет).

1

Верно замечена симметрия системы относительно замены x ↔ y и сделан вывод о решении вида (x₀; x₀), либо верно записано неравенство x² + 2x + a ≤ 0 на прямой y = x.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.