ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Наименьшее значение параболы на отрезке зависит от того, где находится её вершина.

В каждом случае решите уравнение и проверьте, удовлетворяет ли найденное a условию этого случая.

1. Где достигается наименьшее значение

   График f — парабола с ветвями вверх, вершина x₀ = a. Если a ≤ −1, наименьшее значение на [−1; 2] — f(−1); если −1 < a < 2 — f(a); если a ≥ 2 — f(2).

2. Случай a ≤ −1

   f(−1) = 1 + 2a − a + 3 = a + 4 = 1 ⇔ a = −3. Условие a ≤ −1 выполнено — значение подходит.

3. Случай −1 < a < 2

   f(a) = a² − 2a² − a + 3 = −a² − a + 3 = 1 ⇔ a² + a − 2 = 0 ⇔ a = 1 или a = −2. В промежуток (−1; 2) попадает только a = 1; a = −2 отбрасываем: при нём вершина левее отрезка, и наименьшее значение f(−1) = 2.

4. Случай a ≥ 2

   f(2) = 4 − 4a − a + 3 = 7 − 5a = 1 ⇔ a = 6/5, но 6/5 < 2 — противоречие, решений в этом случае нет.

5. Проверяем и записываем ответ

   a = −3: f(x) = x² + 6x + 6 возрастает на [−1; 2], наименьшее значение f(−1) = 1 − 6 + 6 = 1. a = 1: f(x) = (x − 1)² + 1, наименьшее значение 1 в точке x = 1. Ответ: a = −3; a = 1. Типичная ошибка — не сверить найденные a с условием случая и добавить a = −2 или a = 6/5.

Ответ: a = −3; a = 1

4

Обоснованно получен ответ a = −3; a = 1: разобраны три положения вершины, в каждом решено уравнение «наименьшее значение равно 1», отброшены a = −2 и a = 6/5 как не соответствующие своему случаю.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, добавлено a = −2 или a = 6/5, или потеряно одно из значений −3 и 1.

2

С помощью верного рассуждения найдены оба значения a = −3 и a = 1, но не обоснован отбор (не проверено, что найденные значения соответствуют своим случаям) или не рассмотрен один из случаев.

1

Верно определено, где достигается наименьшее значение в зависимости от положения вершины x = a, или верно найдено хотя бы одно из значений a = −3, a = 1.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.