Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений x + y + xy = a, x²y + xy² = −54 имеет ровно четыре различных решения.
Подсказка
Обозначьте s = x + y, p = xy: какие уравнения получатся для s и p?
Для каждой пары (s; p) решения (x; y) существуют, только если s² ≥ 4p.
Показать ответ
a ∈ (−∞; 3)
Пошаговое решение
- Переходим к s = x + y и p = xy
x²y + xy² = xy(x + y) = sp. Система: s + p = a, sp = −54. По теореме, обратной теореме Виета, s и p — корни уравнения h(u) = u² − au − 54 = 0. Его дискриминант a² + 216 > 0, произведение корней −54 < 0, поэтому всегда есть корни u₁ < 0 < u₂ и два варианта: (s; p) = (u₂; u₁) или (s; p) = (u₁; u₂).
- Сколько решений (x; y) даёт пара (s; p)
x и y — корни уравнения z² − sz + p = 0. При s² − 4p > 0 получаем два решения (x; y) и (y; x), при s² − 4p = 0 — одно (x = y), при s² − 4p < 0 — ни одного. Разные пары (s; p) дают разные решения.
- Разбираем оба варианта
Вариант s = u₂ > 0, p = u₁ < 0: s² − 4p > 0 всегда — два решения при любом a. Вариант s = u₁ < 0, p = u₂ = −54/u₁ > 0: s² − 4p = u₁² + 216/u₁, это положительно ⇔ (умножаем на u₁ < 0) u₁³ + 216 < 0 ⇔ u₁ < −6; равно нулю при u₁ = −6.
- Переводим условие на язык a
Отрицательный корень h меньше −6 тогда и только тогда, когда число −6 лежит между корнями, то есть h(−6) = 36 + 6a − 54 = 6a − 18 < 0 ⇔ a < 3. Тогда решений 2 + 2 = 4. При a = 3: h(u) = (u + 6)(u − 9), u₁ = −6, второй вариант даёт x = y = −3 — всего три решения; при a > 3 решений два.
- Проверяем и записываем ответ
Контроль при a = 0: u = ±3√6, во втором варианте s² − 4p = 54 − 12√6 > 0 — четыре решения. Ответ: a ∈ (−∞; 3). Типичные ошибки — рассмотреть только один порядок (s; p) или не учесть, что (x; y) и (y; x) при x ≠ y — разные решения.
Ответ: a ∈ (−∞; 3)
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Обоснованно получен ответ a ∈ (−∞; 3): s и p найдены как корни u² − au − 54 = 0 в двух порядках, обосновано, что первый порядок всегда даёт два решения, а второй — два ровно при u₁ < −6, то есть a < 3.
- 3
- С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от (−∞; 3) конечным числом точек: например, включено a = 3, при котором решений три.
- 2
- С помощью верного рассуждения найдена граничная точка a = 3 (условие s² = 4p при u₁ = −6), но множество значений определено неверно, например перепутано направление неравенства.
- 1
- Система верно сведена к уравнению u² − au − 54 = 0 для s = x + y и p = xy с условием s² ≥ 4p, или верно найдено значение a = 3 как особое.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.