Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x⁴ − ax³ + 11x² − ax + 1 = 0 имеет ровно четыре различных действительных корня.
Подсказка
Разделите уравнение на x² и сгруппируйте x² + 1/x² и x + 1/x.
Не каждое значение t = x + 1/x достижимо: выясните, при каких t уравнение x + 1/x = t имеет два корня.
Показать ответ
a ∈ (−13/2; −6) ∪ (6; 13/2)
Пошаговое решение
- Делим на x² и вводим новую переменную
x = 0 не корень (получается 1 = 0). Разделим на x²: x² + 1/x² − a(x + 1/x) + 11 = 0. Пусть t = x + 1/x, тогда x² + 1/x² = t² − 2 и уравнение принимает вид g(t) = t² − at + 9 = 0.
- Сколько корней x даёт значение t
x + 1/x = t ⇔ x² − tx + 1 = 0, дискриминант t² − 4. При |t| > 2 — два различных корня x, при |t| = 2 — один (x = 1 или x = −1), при |t| < 2 — ни одного. Разным t соответствуют разные x. Поэтому четыре корня будут тогда и только тогда, когда g имеет два различных корня, оба по модулю больше 2.
- Сужаем случаи
Произведение корней g равно 9 > 0, поэтому корни одного знака: либо оба больше 2, либо оба меньше −2. Нужны значения g(2) = 13 − 2a, g(−2) = 13 + 2a, вершина t₀ = a/2 и D = a² − 36.
- Решаем условия
Оба корня больше 2: D > 0, a/2 > 2, g(2) > 0 ⇔ |a| > 6, a > 4, a < 13/2 ⇔ 6 < a < 13/2. Оба корня меньше −2: D > 0, a/2 < −2, g(−2) > 0 ⇔ |a| > 6, a < −4, a > −13/2 ⇔ −13/2 < a < −6.
- Проверяем границы и записываем ответ
При a = 6 корень t = 3 двойной, x + 1/x = 3 даёт только два корня x. При a = 13/2 корни t = 2 и t = 9/2: x = 1 и два корня уравнения 2x² − 9x + 2 = 0 — всего три. Значения −6 и −13/2 симметричны (замена x на −x). Контроль: при a = 25/4 корни t = 4 и t = 9/4 больше 2 — четыре корня x. Ответ: a ∈ (−13/2; −6) ∪ (6; 13/2). Типичная ошибка — забыть ограничение |t| > 2 и ответить |a| > 6.
Ответ: a ∈ (−13/2; −6) ∪ (6; 13/2)
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Обоснованно получен ответ a ∈ (−13/2; −6) ∪ (6; 13/2): выполнена замена t = x + 1/x, обосновано, что четыре корня x дают два различных корня t с |t| > 2, верно решены условия на D, вершину и g(±2).
- 3
- С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, включены a = ±13/2 (при них t = ±2 и корней три) или a = ±6.
- 2
- С помощью верного рассуждения найдены все граничные точки ±6 и ±13/2, но множество записано неверно, например, потерян один из двух симметричных промежутков.
- 1
- Задача верно сведена к исследованию уравнения t² − at + 9 = 0 с условием |t| > 2 (указано, сколько корней x даёт каждое t), или верно найдена хотя бы одна граничная точка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.