ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

После умножения на знаменатели получится квадратное уравнение — не забудьте, что x ≠ a и x ≠ −2.

Подставьте запрещённые значения x в квадратное уравнение и найдите, при каких a они оказываются корнями.

1. Учитываем ограничения и избавляемся от знаменателей

   Условия: x ≠ a, x ≠ −2. При них уравнение равносильно x(x + 2) = (2 − 2a)(x − a), то есть x² + 2x = 2x − 2a − 2ax + 2a², откуда q(x) = x² + 2ax + 2a − 2a² = 0.

2. Когда у квадратного уравнения два различных корня

   D/4 = a² − (2a − 2a²) = 3a² − 2a = a(3a − 2) > 0 ⇔ a < 0 или a > 2/3. При остальных a у q не больше одного корня, и двух корней у исходного уравнения быть не может.

3. Когда корень попадает в запрещённую точку

   x = a: q(a) = a² + 2a² + 2a − 2a² = a² + 2a = 0 ⇔ a = 0 или a = −2. x = −2: q(−2) = 4 − 4a + 2a − 2a² = −2(a + 2)(a − 1) = 0 ⇔ a = −2 или a = 1. Значение a = 0 уже не входит в D > 0.

4. Разбираем найденные значения

   a = −2: q(x) = x² − 4x − 12 = (x − 6)(x + 2), корень −2 запрещён (здесь a = −2), остаётся один корень 6. a = 1: q(x) = x² + 2x, корни 0 и −2, корень −2 запрещён — остаётся один. Оба корня сразу запрещены быть не могут: это потребовало бы q(a) = 0 и q(−2) = 0 при a ≠ −2, а общее решение только a = −2.

5. Записываем ответ и проверяем

   Из (−∞; 0) ∪ (2/3; +∞) выкалываем a = −2 и a = 1. Контроль: при a = −1 q(x) = x² − 2x − 4, корни 1 ± √5, оба допустимы. Ответ: a ∈ (−∞; −2) ∪ (−2; 0) ∪ (2/3; 1) ∪ (1; +∞). Типичная ошибка — ограничиться условием D > 0 и не проверить совпадение корня с x = a или x = −2.

Ответ: a ∈ (−∞; −2) ∪ (−2; 0) ∪ (2/3; 1) ∪ (1; +∞)

4

Обоснованно получен ответ a ∈ (−∞; −2) ∪ (−2; 0) ∪ (2/3; 1) ∪ (1; +∞): найдено условие D > 0, найдены значения a = −2 и a = 1, при которых корень совпадает с запрещённой точкой, и они исключены.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, не исключено a = −2 или a = 1 либо включены a = 0, a = 2/3.

2

С помощью верного рассуждения найдены все граничные точки −2, 0, 2/3 и 1, но множество записано неверно (например, ошибка в знаке дискриминанта или в разборе a = −2).

1

Уравнение верно сведено к x² + 2ax + 2a − 2a² = 0 с условиями x ≠ a, x ≠ −2, или верно найдена хотя бы одна граничная точка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.