Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ||x+1|−3|=a имеет ровно три различных действительных корня.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 8: Сначала положите y=|x−c|≥0 и исследуйте уравнение |y−d|=a.
Шаг 2 для варианта 8: Особое число корней возникает, когда одно из двух значений y равно нулю, а второе положительно.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Не теряем случаи
После разложения на множители или введения замены рассматриваем каждую ветвь отдельно. Учитываем ограничения для новой переменной и возвращаемся к исходной. Если требуется число различных корней, совпавшие корни учитываем один раз.
- Намечаем ход решения
Сначала положите y=|x−c|≥0 и исследуйте уравнение |y−d|=a. Особое число корней возникает, когда одно из двух значений y равно нулю, а второе положительно.
- Выполняем преобразование
Для a<0 решений нет.
- Получаем следующий результат
При a=0 получаем |x+1|=3, то есть два корня.
- Выполняем преобразование
При 0<a<3 оба значения y=3±a положительны и дают по два корня — всего четыре.
- Выполняем преобразование
При a=3 значения y равны 0 и 6: первое даёт один корень, второе два, всего три.
- Выполняем преобразование
При a>3 остаётся одно положительное значение y и два корня.
Ответ: 3