ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Решите второе неравенство: его решения — два луча. Что задаёт первое неравенство при разных a?

Отдельно рассмотрите значение a, при котором концы a и 2a + 1 совпадают.

1. Решаем неравенство без параметра

   x² − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4) ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 или x ≥ 4. Обозначим M = (−∞; 1] ∪ [4; +∞) — это совокупность двух лучей.

2. Описываем решения первого неравенства

   Концы — числа a и 2a + 1, их разность (2a + 1) − a = a + 1. При a > −1 решения — отрезок [a; 2a + 1], при a < −1 — отрезок [2a + 1; a], при a = −1 — одна точка x = −1.

3. Случаи a = −1 и a < −1

   a = −1: единственная точка x = −1 ∈ M — ровно одно решение, значение подходит. a < −1: отрезок [2a + 1; a] лежит левее −1, то есть целиком в M, решений бесконечно много.

4. Случай a > −1

   Отрезок [a; 2a + 1] имеет положительную длину. Если a < 1, его часть [a; min(1; 2a + 1)] лежит в M и содержит бесконечно много точек; если 2a + 1 > 4 — аналогично справа. Остаётся 1 ≤ a ≤ 3/2: отрезок лежит в [1; 4] и пересекается с M только по точкам 1 и 4. Точка 1 входит при a = 1 (отрезок [1; 3]), точка 4 — при 2a + 1 = 4, то есть a = 3/2 (отрезок [3/2; 4]); одновременно — никогда. При 1 < a < 3/2 решений нет.

5. Записываем ответ

   Ровно одно решение при a = −1 (x = −1), a = 1 (x = 1) и a = 3/2 (x = 4). Ответ: a = −1; a = 1; a = 3/2. Типичная ошибка — потерять a = −1, считая, что первое неравенство всегда задаёт отрезок положительной длины.

Ответ: a = −1; a = 1; a = 3/2

4

Обоснованно получен ответ a = −1; a = 1; a = 3/2: учтён порядок концов a и 2a + 1, разобран вырожденный случай a = −1, доказано, что при остальных a решений нет или бесконечно много.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, потеряно значение a = −1 или лишне добавлено a = 0.

2

С помощью верного рассуждения найдены значения a = 1 и a = 3/2 (касание отрезком точек 1 и 4), но не доказано, что при других a решений не одно, или пропущен разбор порядка концов.

1

Верно решено неравенство x² − 5x + 4 ≥ 0 и описано множество решений первого неравенства в зависимости от a, или верно найдено хотя бы одно из значений −1, 1, 3/2.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.