ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Обе части имеют вид t³ + 2t — при каком условии значения такой функции равны?

После перехода к sin x внимательно посчитайте корни на [0; 2π] для sin x = 0 и sin x = ±1.

1. Переходим к равенству аргументов

   Пусть f(t) = t³ + 2t. Уравнение: f(a + sin x) = f(cos 2x). Функции t³ и 2t возрастают, значит, f возрастает и f(u) = f(v) ⇔ u = v. Получаем a + sin x = cos 2x = 1 − 2sin² x.

2. Выражаем параметр

   Пусть s = sin x ∈ [−1; 1]. Тогда a = 1 − s − 2s² = q(s), или 2s² + s + a − 1 = 0, s = (−1 ± √(9 − 8a))/4. Вершина параболы q: s = −1/4, q(−1/4) = 1 + 1/4 − 1/8 = 9/8; q(−1) = 0, q(0) = 1, q(1) = −2.

3. Сколько x на [0; 2π] даёт одно s

   s ∈ (−1; 0) или s ∈ (0; 1): два корня; s = 0: три корня 0, π и 2π; s = 1: один (π/2); s = −1: один (3π/2).

4. Перебираем случаи

   a > 9/8 или a < −2: корней нет. a = 9/8: s = −1/4 — два корня. 1 < a < 9/8: два значения s в (−1/2; 0) — четыре корня. a = 1: s = 0 (три корня) и s = −1/2 (два) — пять. 0 < a < 1: s₂ ∈ (0; 1/2) и s₁ ∈ (−1; −1/2) — четыре. a = 0: s = 1/2 (два) и s = −1 (один) — три. −2 ≤ a < 0: только s₂ ∈ (1/2; 1] — два или один.

5. Записываем ответ и проверяем выколотую точку

   Ровно четыре корня при 0 < a < 1 и 1 < a < 9/8: a ∈ (0; 1) ∪ (1; 9/8). При a = 1 корни 0, π, 2π, 7π/6, 11π/6 — их пять, поэтому a = 1 выколото. Типичная ошибка — считать, что s = 0 даёт два корня, как любое другое s, и потерять выколотую точку a = 1.

Ответ: a ∈ (0; 1) ∪ (1; 9/8)

4

Обоснованно получен ответ a ∈ (0; 1) ∪ (1; 9/8): доказано возрастание f(t) = t³ + 2t и переход к a + sin x = cos 2x, исследована q(s) = 1 − s − 2s² на [−1; 1], разобраны a = 0, 1, 9/8 с подсчётом корней.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, (0; 9/8) без исключения a = 1, где корней пять.

2

С помощью верного рассуждения найдены граничные точки 0, 1 и 9/8, но ответ неверен из-за ошибки в подсчёте числа корней на одном из промежутков.

1

Уравнение верно сведено к a + sin x = cos 2x с обоснованием через монотонность f, либо верно найдена хотя бы одна граничная точка (например, 9/8 из вершины параболы).

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.