Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система y²+x=a+1, y⁴+x²=18 имеет ровно четыре различных действительных решения (x; y).
Подсказка
Положите t=y²≥0 и выразите x из первого уравнения. Каждое положительное t даёт два значения y.
Обозначьте A=a+1. Для четырёх пар нужны два различных положительных корня по t: учтите дискриминант, сумму и произведение.
Показать ответ
(3√2−1; 5)
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Положите t=y²≥0 и выразите x из первого уравнения. Каждое положительное t даёт два значения y. Обозначьте A=a+1. Для четырёх пар нужны два различных положительных корня по t: учтите дискриминант, сумму и произведение.
- Вводим обозначения
Обозначим A=a+1, t=y²≥0. Тогда x=A−t и t²+(A−t)²=18, то есть 2t²−2At+A²−18=0.
- Выполняем преобразование
Положительное t даёт две разные пары (A−t; ±√t), нулевое — только одну, отрицательное не даёт действительных y. Поэтому ровно четыре решения возможны только при двух различных положительных корнях.
- Находим корни уравнения
Дискриминант D=4(36−A²)>0. По Виету дополнительно нужны A>0 и (A²−18)/2>0. Вместе это 3√2<A<6.
- Выполняем преобразование
Возвращаемся к a=A−1: 3√2−1<a<5. На левой границе один корень t нулевой, на правой корни сливаются; обе границы исключены.
Ответ: (3√2−1; 5)