Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система |x|+|y|=a, y=x²−4 имеет ровно шесть различных действительных решений (x; y).
Подсказка
Положите z=|x|≥0. Тогда z+|z²−c|=a. Разбейте область по точке z=√c.
На внутреннем участке получается парабола −z²+z+4; её вершина имеет абсциссу 1/2.
Показать ответ
(4; 4,25)
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Положите z=|x|≥0. Тогда z+|z²−c|=a. Разбейте область по точке z=√c. На внутреннем участке получается парабола −z²+z+4; её вершина имеет абсциссу 1/2.
- Получаем следующий результат
После замены z=|x|≥0 получаем z+|z²−4|=a. Каждое z>0 даёт две пары (±z; z²−4); z=0 даёт только одну. Для шести пар нужны три различных положительных z.
- Выполняем преобразование
При z≥√4 левая часть равна z²+z−4 и строго возрастает. На этом участке не более одного корня, существующего при a≥√4.
- Выполняем преобразование
При 0≤z≤√4 левая часть равна −z²+z+4. Её максимум 4,25 достигается при z=1/2. Два различных положительных корня на этом участке существуют ровно при 4<a<4,25; они лежат между 0 и 1 и не совпадают с внешним корнем.
- Выполняем преобразование
Здесь a>4>√4, поэтому внешний корень тоже существует. При a=4 один внутренний корень нулевой — получается пять пар. В точке максимума два внутренних корня сливаются — остаются четыре пары. В остальных случаях трёх положительных z нет. Значит, обе границы искомого интервала открытые.
Ответ: (4; 4,25)