ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Когда произведение с радикалом равно нулю? Не забудьте область определения второго множителя.

Выразите a из каждого условия и постройте получившиеся линии на плоскости с осями x и a.

1. Записываем равносильную совокупность

   Произведение равно нулю, если один множитель равен нулю, а другой при этом определён. Радикал определён при 2 − x − a ≥ 0. Поэтому: либо 2 − x − a = 0 (то есть a = 2 − x), либо x² − 2x − a = 0 и a ≤ 2 − x.

2. Строим множество на плоскости (x; a)

   Прямая a = 2 − x и парабола a = x² − 2x с вершиной (1; −1). Они пересекаются при x² − 2x = 2 − x, x² − x − 2 = 0: x = −1 (a = 3) и x = 2 (a = 0), точки M(−1; 3) и N(2; 0). Парабола лежит не выше прямой при −1 ≤ x ≤ 2, поэтому множество решений — вся прямая и дуга параболы MN с концами. Корни при данном a — абсциссы общих точек этого множества с горизонтальной прямой a = const.

3. Сколько раз горизонталь пересекает дугу

   Прямая a = 2 − x даёт ровно один корень x = 2 − a при любом a. На дуге a = x² − 2x убывает от 3 до −1 при x ∈ [−1; 1] и возрастает от −1 до 0 при x ∈ [1; 2]. Значит, горизонталь a = c пересекает дугу: при c < −1 — ни разу; при c = −1 — в вершине (x = 1); при −1 < c ≤ 0 — дважды (x = 1 ± √(1 + c)); при 0 < c ≤ 3 — один раз (x = 1 − √(1 + c)); при c > 3 — ни разу.

4. Учитываем совпадения и считаем корни

   При a = 0 корень дуги x = 2 совпадает с корнем прямой 2 − 0 = 2, при a = 3 корень дуги x = −1 совпадает с 2 − 3 = −1. Итог: a < −1 — 1 корень; a = −1 — 2 корня (1 и 3); −1 < a < 0 — 3 корня; a = 0 — 2 корня (0 и 2); 0 < a < 3 — 2 корня; a = 3 — 1 корень; a > 3 — 1 корень.

5. Записываем ответ

   Ровно два корня при a = −1 и при 0 ≤ a < 3. Ответ: a ∈ [0; 3); a = −1. Типичные ошибки — забыть корень x = 2 − a, обращающий в нуль радикал (тогда получится неверная картина без прямой), или не заметить совпадение корней в точках M и N и включить a = 3 или исключить a = 0.

Ответ: a ∈ [0; 3); a = −1

4

Обоснованно получен ответ a ∈ [0; 3); a = −1: верно записана совокупность с учётом ОДЗ, на плоскости (x; a) построены прямая a = 2 − x и дуга параболы a = x² − 2x при −1 ≤ x ≤ 2, учтены вершина (1; −1) и совпадения корней в точках (−1; 3) и (2; 0).

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, потеряно a = −1 или a = 0, либо включено a = 3.

2

С помощью верного рассуждения найдены все граничные значения −1, 0 и 3 (вершина параболы и точки её пересечения с прямой a = 2 − x), но число корней на промежутках подсчитано неверно.

1

Задача верно сведена к исследованию на плоскости (x; a) (или аналитически) совокупности «a = 2 − x или a = x² − 2x при a ≤ 2 − x», ИЛИ верно найдена хотя бы одна граничная точка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.