ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Чем равенство |u| = |v| равносильно без разбора знаков?

Одна из получившихся ветвей вообще не содержит a — что это значит на плоскости (x; a)?

1. Убираем модули без разбора случаев

   |u| = |v| ⟺ u² = v² ⟺ (u − v)(u + v) = 0. Поэтому уравнение равносильно совокупности x² − a = x + a или x² − a = −(x + a). Первое даёт a = (x² − x)/2, второе — x² + x = 0, то есть x = 0 или x = −1 при любом a.

2. Строим картинку на плоскости (x; a)

   Множество решений — две вертикальные прямые x = 0, x = −1 и парабола a = (x² − x)/2 с вершиной (1/2; −1/8). При фиксированном a корни — абсциссы точек пересечения горизонтали a = const с этим множеством. Вертикали дают два корня всегда; парабола — ни одного при a < −1/8, один (x = 1/2) при a = −1/8 и два при a > −1/8.

3. Находим точки, где парабола пересекает вертикали

   x = 0: a = 0, точка (0; 0); x = −1: a = (1 + 1)/2 = 1, точка (−1; 1). При этих a один из корней параболы совпадает с корнем 0 или −1.

4. Считаем корни

   a < −1/8: 2 корня; a = −1/8: −1, 0, 1/2 — 3 корня; −1/8 < a < 0: 4; a = 0: x² − x = 0 даёт 0 и 1, вместе с −1 — 3 корня; 0 < a < 1: 4; a = 1: x² − x − 2 = 0 даёт −1 и 2, вместе с 0 — 3 корня; a > 1: корни параболы (1 ± √(1 + 8a))/2 отличны от 0 и −1 — 4 корня.

5. Записываем ответ

   Ровно три корня при a = −1/8, a = 0 и a = 1. Ответ: a = −1/8; a = 0; a = 1. Типичная ошибка — раскрывать модули на промежутках и потерять ветвь x² + x = 0, которая от a не зависит, или упустить касание горизонтали с вершиной параболы при a = −1/8.

Ответ: a = −1/8; a = 0; a = 1

4

Обоснованно получен ответ a = −1/8; a = 0; a = 1: уравнение сведено к совокупности a = (x² − x)/2 или x = 0, x = −1 без потери ветвей, на плоскости (x; a) рассмотрены вершина параболы и её пересечения с прямыми x = 0 и x = −1, число корней проверено на всех промежутках.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, потеряно значение a = −1/8 (вершина) или одно из значений совпадения a = 0, a = 1.

2

С помощью верного рассуждения найдены все особые значения −1/8, 0 и 1, но число корней при них подсчитано неверно (например, совпадающий корень посчитан дважды).

1

Задача верно сведена к совокупности x² − a = x + a или x² + x = 0 и исследованию её графически на плоскости (x; a) или аналитически, ИЛИ верно найдена хотя бы одна граничная точка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.