ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Сравните левую и правую части: каждая из них — значение одной и той же функции f(t) = t³ + 2^t.

Если f возрастает, то из f(u) = f(v) следует u = v; выразите a через x и рассмотрите график на отрезке.

1. Видим одну функцию в обеих частях

   Пусть f(t) = t³ + 2^t. Левая часть равна f(x + a), правая — f(x² − 3x): в обеих частях в куб и в показатель степени двойки стоит одно и то же выражение. Уравнение имеет вид f(x + a) = f(x² − 3x).

2. Доказываем возрастание f и переходим к аргументам

   Функции y = t³ и y = 2^t возрастают на всей числовой прямой, значит, и их сумма f возрастает. Возрастающая функция каждое своё значение принимает ровно один раз, поэтому f(u) = f(v) ⇔ u = v. Уравнение равносильно x + a = x² − 3x, то есть a = x² − 4x.

3. Исследуем h(x) = x² − 4x на отрезке [0; 5]

   Парабола с ветвями вверх, вершина x = 2, h(2) = 4 − 8 = −4. Концы и нужные точки: h(0) = 0, h(4) = 16 − 16 = 0, h(5) = 25 − 20 = 5. На [0; 2] h убывает от 0 до −4, на [2; 5] возрастает от −4 до 5. Число корней на [0; 5] равно числу общих точек прямой y = a с этой дугой.

4. Считаем корни при разных a

   a < −4 или a > 5: корней нет. a = −4: один корень x = 2. −4 < a < 0: два корня, по одному на (0; 2) и на (2; 4). a = 0: два корня x = 0 и x = 4 — оба принадлежат отрезку. 0 < a ≤ 5: корни 2 ± √(4 + a); корень 2 − √(4 + a) < 0, а 2 + √(4 + a) лежит в (4; 5], поэтому корень ровно один.

5. Проверяем граничные значения и записываем ответ

   a = 5: x = 2 + 3 = 5 — правый конец входит, второй корень x = −1 вне отрезка, корень один. a = 0: корней два, значение не подходит. Получаем a = −4 и 0 < a ≤ 5. Типичная ошибка — забыть, что левый конец x = 0 является корнем при a = 0, и включить a = 0 в ответ.

Ответ: a ∈ (0; 5]; a = −4

4

Обоснованно получен ответ a ∈ (0; 5]; a = −4: доказано возрастание f(t) = t³ + 2^t и равносильный переход к x + a = x² − 3x, исследована функция h(x) = x² − 4x на [0; 5], разобраны значения a = −4, 0, 5.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, потеряно a = −4, исключено a = 5 или включено a = 0 (при нём корни x = 0 и x = 4).

2

С помощью верного рассуждения найдены все граничные точки −4, 0 и 5, но ответ записан неверно (перепутаны промежутки с одним и двумя корнями или неверно учтены концы).

1

Задача верно сведена к исследованию уравнения a = x² − 4x на отрезке [0; 5] с обоснованием перехода через монотонность f, либо верно найдена хотя бы одна граничная точка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.