ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Обозначьте f(t) = √(a + t): левая часть — это f(f(x)).

Что будет, если предположить f(x) > x (или f(x) < x) и применить к этому неравенству возрастающую f?

1. Записываем уравнение как f(f(x)) = x

   Пусть f(t) = √(a + t). Тогда √(a + x) = f(x), а левая часть — f(f(x)). Функция f возрастает на своей области определения t ≥ −a. Корень уравнения неотрицателен: x равен значению квадратного корня.

2. Доказываем, что f(f(x)) = x ⇔ f(x) = x

   Пусть x — корень и f(x) > x. Так как f возрастает, f(f(x)) > f(x) > x — противоречие с f(f(x)) = x. Если f(x) < x, то f(f(x)) < f(x) < x — тоже противоречие. Значит, f(x) = x. Обратно, при f(x) = x получаем f(f(x)) = f(x) = x. Уравнение равносильно √(a + x) = x.

3. Решаем √(a + x) = x

   Это равносильно системе x ≥ 0 и a + x = x², то есть a = x² − x при x ≥ 0. Условие a + x ≥ 0 выполняется само (a + x = x²), и внешний корень тоже определён: a + √(a + x) = a + x = x² ≥ 0.

4. Считаем корни по графику g(x) = x² − x на [0; +∞)

   g(0) = 0, вершина x = 1/2, g(1/2) = 1/4 − 1/2 = −1/4, дальше g возрастает до +∞. При a < −1/4 корней нет; a = −1/4 — один корень x = 1/2; −1/4 < a ≤ 0 — два корня (1 ± √(1 + 4a))/2, меньший из них неотрицателен, так как √(1 + 4a) ≤ 1; при a > 0 меньший корень отрицателен — остаётся один.

5. Проверяем границы и записываем ответ

   a = 0: корни x = 0 и x = 1, проверка: √(0 + √0) = 0 и √(0 + √1) = 1 — два корня, значение входит. a = −1/4: корень один (двойной), значение не входит. Типичная ошибка — забыть условие x ≥ 0 и ответить a > −1/4: например, при a = 2 у x² − x − 2 = 0 корни −1 и 2, но x = −1 не подходит.

Ответ: a ∈ (−1/4; 0]

4

Обоснованно получен ответ a ∈ (−1/4; 0]: доказано, что для возрастающей f(t) = √(a + t) уравнение f(f(x)) = x равносильно √(a + x) = x, исследована g(x) = x² − x при x ≥ 0, проверены a = −1/4 и a = 0.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, (−1/4; 0) без a = 0 (где корни 0 и 1) или [−1/4; 0] с лишней точкой −1/4.

2

С помощью верного рассуждения найдены обе граничные точки −1/4 и 0, но ответ неверен (например, не учтено x ≥ 0 и получено a > −1/4 или перепутаны случаи одного и двух корней).

1

Задача верно сведена к уравнению √(a + x) = x (с обоснованием через возрастание f), либо верно найдена хотя бы одна граничная точка a = −1/4 или a = 0.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.