Условие
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение |x|+|x−3|=ax имеет ровно два различных действительных корня.
Подсказка
При x<0 уравнение имеет вид 3−2x=ax. Корень x=3/(a+2) отрицателен ровно при a<−2. При a=−2 уравнение невозможно. Точка x=0 не подходит.
При 0<x≤3 левая часть равна 3. Корень x=3/a принадлежит этому промежутку ровно при a≥1.
Показать ответ
1<a<2
Пошаговое решение
- Левый промежуток
При x<0 уравнение имеет вид 3−2x=ax. Корень x=3/(a+2) отрицателен ровно при a<−2. При a=−2 уравнение невозможно. Точка x=0 не подходит.
- Средний промежуток
При 0<x≤3 левая часть равна 3. Корень x=3/a принадлежит этому промежутку ровно при a≥1.
- Правый промежуток
При x>3: 2x−3=ax. Корень x=3/(2−a)>3 существует ровно при 1<a<2. Границу x=3 уже учли в среднем промежутке.
- Считаем корни во всех случаях
При a<−2 один корень слева; при −2≤a<1 корней нет; при a=1 один на границе; при 1<a<2 два различных положительных корня; при a≥2 один в среднем промежутке. Поэтому ответ 1<a<2.
Ответ: 1<a<2