ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Какой фигурой является график левой части и по какой прямой движется вершина уголка из правой части?

Найдите значения a, при которых сторона уголка касается дуги и проходит через концы диаметра; нижние точки окружности корнями не являются.

1. Строим графики

   y = √(4 − x²) — верхняя полуокружность ω с центром O и радиусом 2, концы (−2; 0) и (2; 0), верхняя точка T(0; 2). y = 2 − |x − a| — уголок вершиной вверх: вершина V(a; 2), левая сторона y = x + 2 − a (x ≤ a), правая y = 2 + a − x (x ≥ a). Вершина скользит по прямой y = 2, касающейся ω в точке T. Корни — абсциссы общих точек. Замена x → −x переводит уравнение с a в уравнение с −a, поэтому исследуем a ≥ 0.

2. Особые положения

   Касание прямой x + y = 2 + a с окружностью: |2 + a|/√2 = 2, a = 2√2 − 2 (точка касания (√2; √2) лежит на правой стороне и на ω). Прохождение сторон через концы диаметра: правая сторона через (2; 0) при a = 0, левая через (−2; 0) при a = 0, левая через (2; 0) при a = 4. Вершина V лежит вне круга, кроме a = 0 (V = T).

3. Левая сторона при a > 0

   Левая сторона идёт от V (вне круга) вниз-влево и пересекает ось Ox в точке (a − 2; 0). При 0 < a < 4 эта точка — внутренняя точка диаметра, поэтому часть стороны над осью Ox пересекает дугу ровно один раз. Вторая общая точка прямой y = x + 2 − a с окружностью лежит ниже оси Ox (там правая часть отрицательна, а левая — нет), корнем она не является. Итак, левая сторона даёт один корень при 0 < a < 4, при a = 4 — корень x = 2, при a > 4 — ни одного.

4. Правая сторона и подсчёт при a ≥ 0

   Правая сторона: 2x² − 2(2 + a)x + (2 + a)² − 4 = 0. При 0 ≤ a < 2√2 − 2 два корня; условия x ≥ a и y ≥ 0 сводятся к 2a² ≥ 0 и a ≥ 0 — оба корня годятся. При a = 2√2 − 2 касание — один корень, при больших a корней нет. Итог: a = 0 — корни −2, 0, 2 (три); 0 < a < 2√2 − 2 — 1 + 2 = 3; a = 2√2 − 2 — 2; 2√2 − 2 < a ≤ 4 — 1; a > 4 — 0.

5. Записываем ответ с учётом симметрии

   Ровно три корня при 0 ≤ a < 2√2 − 2 и, по симметрии, при 2 − 2√2 < a ≤ 0. Ответ: a ∈ (2 − 2√2; 2√2 − 2). Типичные ошибки — исключить a = 0 (решив, что касание в вершине T уменьшает число корней, хотя корни −2, 0, 2 есть) или посчитать нижнюю точку пересечения левой стороны с окружностью и получить «четыре корня».

Ответ: a ∈ (2 − 2√2; 2√2 − 2)

4

Обоснованно получен ответ a ∈ (2 − 2√2; 2√2 − 2): построены полуокружность и уголок с вершиной (a; 2), найдены касание при a = ±(2√2 − 2) и прохождение сторон через концы диаметра, отброшены точки нижней полуокружности, отдельно проверено a = 0 (корни −2, 0, 2).

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, исключено a = 0 или включены концы a = ±(2√2 − 2), где корней два.

2

С помощью верного рассуждения найдены граничные точки ±(2√2 − 2), но число корней между ними определено неверно (например, учтены точки нижней полуокружности).

1

Задача верно сведена к исследованию общих точек полуокружности y = √(4 − x²) и уголка y = 2 − |x − a| с вершиной на прямой y = 2, ИЛИ верно найдена хотя бы одна граничная точка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.