ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Запишите cos 2x через cos x и разложите левую часть на множители.

Отметьте отрезок [−2π/3; 3π/2] на единичной окружности: сколько раз на нём cos x принимает данное значение?

1. Сводим к квадратному уравнению относительно cos x

   cos 2x = 2cos² x − 1, поэтому 2cos² x − (a + 2)cos x + a = 0. Разложим: 2cos² x − 2cos x − a·cos x + a = 2cos x(cos x − 1) − a(cos x − 1) = (cos x − 1)(2cos x − a). Уравнение: cos x = 1 или cos x = a/2.

2. Корни первого множителя

   cos x = 1 при x = 2πn. На отрезке [−2π/3; 3π/2] лежит только x = 0 (−2π и 2π вне отрезка). Этот корень есть при любом a.

3. Как cos x пробегает значения на отрезке

   На [−2π/3; 0] cos x возрастает от −1/2 до 1, на [0; π] убывает от 1 до −1, на [π; 3π/2] возрастает от −1 до 0. Пусть v = a/2. Корни cos x = v, отличные от 0: при v ∈ (0; 1) — два (по одному слева и справа от 0); при v = 0 — три (−π/2, π/2, 3π/2); при v ∈ [−1/2; 0) — три; при v ∈ (−1; −1/2) — два (в (2π/3; π) и в (π; 4π/3)); при v = −1 — один (x = π); при v = 1 новых корней нет; при |v| > 1 корней нет.

4. Отбираем случаи с тремя корнями

   Всего корней 1 + (число корней cos x = v, отличных от 0). Ровно три — когда второе число равно двум: v ∈ (−1; −1/2) ∪ (0; 1). Так как a = 2v, получаем a ∈ (−2; −1) ∪ (0; 2).

5. Проверяем граничные значения

   a = −1 (v = −1/2): корни −2π/3 (левый конец входит), 2π/3, 4π/3 и 0 — четыре. a = 0: −π/2, 0, π/2, 3π/2 — четыре. a = 2: только x = 0. a = −2: 0 и π — два. Типичная ошибка — не заметить, что левый конец −2π/3 является корнем при a = −1, и включить a = −1 в ответ.

Ответ: a ∈ (−2; −1) ∪ (0; 2)

4

Обоснованно получен ответ a ∈ (−2; −1) ∪ (0; 2): уравнение разложено на (cos x − 1)(2cos x − a) = 0, учтён корень x = 0, верно подсчитано число корней cos x = a/2 на отрезке, проверены a = −2, −1, 0, 2.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, включено a = −1 (не учтён корень −2π/3) или a = 0.

2

Найдены все граничные точки −2, −1, 0, 2, но число корней в одном из промежутков подсчитано неверно, и ответ отличается от верного на промежуток.

1

Уравнение верно сведено к совокупности cos x = 1 или cos x = a/2, либо верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.