Условие
Найдите все a, при которых уравнение log₂(x−a)=log₂(x²−2ax+4) имеет ровно два различных действительных корня.
Подсказка
Оба аргумента должны быть положительны. Логарифмы одного основания равны тогда и только тогда, когда аргументы равны. Положим t=x−a; требуется t>0.
x²−2ax+4=t²+4−a², поэтому t²−t+(4−a²)=0. При выполнении уравнения второй аргумент равен t, и его положительность тоже обеспечена.
Показать ответ
(−2;−√15/2)∪(√15/2;2)
Пошаговое решение
- Учитываем логарифмы и заменяем переменную
Оба аргумента должны быть положительны. Логарифмы одного основания равны тогда и только тогда, когда аргументы равны. Положим t=x−a; требуется t>0.
- Получаем квадратное уравнение
x²−2ax+4=t²+4−a², поэтому t²−t+(4−a²)=0. При выполнении уравнения второй аргумент равен t, и его положительность тоже обеспечена.
- Формулируем условия для двух положительных корней
Сумма корней равна 1. Два различных положительных корня существуют ровно при D=1−4(4−a²)>0 и произведении 4−a²>0.
- Решаем условия на параметр
4−1/4<a²<4. Следовательно, √15/2<|a|<2, то есть (−2;−√15/2)∪(√15/2;2).
- Проверяем границы
При a²=4−1/4 корень t=1/2 двойной, различный корень только один. При a²=4 один корень t=0 запрещён. Обе границы исключаются; замена x=t+a взаимно однозначна.
Ответ: (−2;−√15/2)∪(√15/2;2)