ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Что задаёт неравенство (x − 2a)² + (y − a)² ≤ 2 и по какой линии движется его центр?

Решение единственно только при касании; проверьте, попадает ли основание перпендикуляра из центра на сам луч уголка, а не только на прямую.

1. Переводим на язык геометрии

   Первое неравенство — круг радиуса √2 с центром Q(2a; a), центр лежит на прямой y = x/2. Второе уравнение — уголок из лучей OA: y = x (x ≥ 0) и OB: y = −x (x ≤ 0). Решения — точки уголка внутри круга или на его границе. Пересечение круга с лучом — отрезок, точка или пусто, поэтому решение единственно ровно тогда, когда ближайшая к Q точка уголка находится на расстоянии √2, а все остальные — дальше.

2. Случай a > 0

   Q(2a; a) лежит в I четверти ниже луча OA (a < 2a), то есть вне уголка. Расстояние от Q до прямой y = x равно |2a − a|/√2 = a/√2, основание перпендикуляра H₁(3a/2; 3a/2) лежит на луче OA. До прямой y = −x расстояние 3a/√2 больше. Значит, ближайшая точка уголка — H₁. При a/√2 < √2 (0 < a < 2) круг содержит отрезок луча — решений бесконечно много; при a = 2 круг касается OA в точке (3; 3) — решение единственно; при a > 2 решений нет.

3. Случай a < 0

   Q(2a; a) в III четверти. Расстояние до прямой y = −x равно 3|a|/√2, основание H₂(a/2; −a/2) имеет x < 0 и лежит на луче OB. Основание перпендикуляра на прямую y = x имеет абсциссу 3a/2 < 0 и на луч OA не попадает, поэтому ближайшая к Q точка луча OA — вершина O, |QO| = |a|√5. Так как 3/√2 < √5, ближайшая точка уголка — H₂. Единственное решение при 3|a|/√2 = √2, то есть a = −2/3: касание в точке (−1/3; 1/3), а |QO| = 2√5/3 > √2, так что O и луч OA вне круга.

4. Случай a = 0 и остальные значения

   При a = 0 центр — вершина O, круг содержит отрезки обоих лучей: решений бесконечно много. При −2/3 < a < 0 расстояние до OB меньше √2 — бесконечно много решений, при a < −2/3 решений нет.

5. Записываем ответ

   Ответ: a = −2/3; a = 2. Типичная ошибка — при a < 0 приравнять √2 расстояние до прямой y = x (|a|/√2 = √2, a = −2): основание перпендикуляра тогда не лежит на луче y = x, x ≥ 0, и при a = −2 круг вообще не пересекает уголок.

Ответ: a = −2/3; a = 2

4

Обоснованно получен ответ a = −2/3; a = 2: решения истолкованы как точки уголка y = |x| в круге радиуса √2 с центром (2a; a), для a > 0 и a < 0 найдена ближайшая точка уголка (основание перпендикуляра на нужном луче или вершина), проверено, что остальные точки вне круга.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, добавлено лишнее a = −2 (расстояние до прямой y = x без проверки луча) или потеряно одно из значений.

2

С помощью верного рассуждения найдены оба значения касания a = 2 и a = −2/3, но не обосновано, что при них решение единственно, или неверно описаны остальные значения a.

1

Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения круга с центром (2a; a) радиуса √2 и графика y = |x|, ИЛИ верно найдено хотя бы одно из значений a = 2, a = −2/3.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.