ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Обозначьте t = sin² x и выразите cos² x через t. Какие значения принимает t?

Сумма 3^t + 3^(1 − t) симметрична относительно t = 1/2; оцените её по неравенству о среднем.

1. Делаем замену

   Пусть t = sin² x, тогда cos² x = 1 − t и t ∈ [0; 1]. Уравнение: g(t) = 3^t + 3^(1 − t) = a.

2. Находим наименьшее и наибольшее значения g

   По неравенству о среднем 3^t + 3^(1 − t) ≥ 2√(3^t·3^(1 − t)) = 2√3, равенство при 3^t = 3^(1 − t), то есть t = 1/2. Обозначим u = 3^t ∈ [1; 3]: g = u + 3/u убывает при u ≤ √3 и возрастает при u ≥ √3, поэтому g убывает на [0; 1/2] и возрастает на [1/2; 1]. На концах g(0) = g(1) = 1 + 3 = 4.

3. Число значений t

   Из симметрии g(1 − t) = g(t): при 2√3 < a ≤ 4 есть два значения t₁ и t₂ = 1 − t₁ (при a = 4 это 0 и 1); при a = 2√3 одно t = 1/2; при остальных a решений нет.

4. Сколько x на [0; π] даёт одно t

   На [0; π] sin x ≥ 0, поэтому t = sin² x ⇔ sin x = √t. При t ∈ (0; 1) два корня x₀ и π − x₀; при t = 0 два корня 0 и π; при t = 1 один корень π/2.

5. Считаем корни и записываем ответ

   2√3 < a < 4: t₁ ∈ (0; 1/2), t₂ ∈ (1/2; 1), по два корня — всего 4. a = 4: t = 0 даёт 0 и π, t = 1 даёт π/2 — всего 3. a = 2√3: x = π/4 и 3π/4 — два. Ответ: a ∈ (2√3; 4). Типичная ошибка — включить a = 4, посчитав, что t = 1 тоже даёт два корня.

Ответ: a ∈ (2√3; 4)

4

Обоснованно получен ответ a ∈ (2√3; 4): найдена область значений g(t) = 3^t + 3^(1 − t) на [0; 1] (минимум 2√3, максимум 4), обоснована монотонность на половинах, верно подсчитаны корни при t = 0 и t = 1.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, (2√3; 4] (при a = 4 корней три, а не четыре) или [2√3; 4).

2

Верно найдены обе граничные точки 2√3 и 4 (область значений g), но подсчёт числа корней на [0; π] проведён с ошибкой и ответ неверен.

1

Выполнена замена t = sin² x с указанием t ∈ [0; 1] и задача сведена к исследованию 3^t + 3^(1 − t) = a, либо верно найдена одна граничная точка (например, минимум 2√3).

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.