ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Соберите слагаемые с параметром: получится a·(x + 1)², выразите a через x.

Найдите множество значений получившейся функции на (0; 1) — для этого исследуйте её производную.

1. Выражаем параметр

   Сгруппируем слагаемые с a: a(x² + 2x + 1) − 2x² + 1 = 0, то есть a(x + 1)² = 2x² − 1. На интервале (0; 1) множитель x + 1 ≠ 0, поэтому уравнение равносильно a = g(x), где g(x) = (2x² − 1)/(x + 1)². Корень на (0; 1) есть тогда и только тогда, когда a — значение функции g в некоторой точке этого интервала.

2. Исследуем g на монотонность

   g'(x) = (4x(x + 1)² − 2(x + 1)(2x² − 1))/(x + 1)⁴ = 2(x + 1)(2x² + 2x − 2x² + 1)/(x + 1)⁴ = 2(2x + 1)/(x + 1)³. При 0 < x < 1 числитель и знаменатель положительны, g' > 0 — функция возрастает.

3. Находим множество значений

   g непрерывна и возрастает на [0; 1], g(0) = −1, g(1) = (2 − 1)/4 = 1/4. На открытом интервале (0; 1) она принимает все значения строго между ними и только их: g((0; 1)) = (−1; 1/4). Каждому такому a соответствует ровно один корень на (0; 1).

4. Сверяем с проверкой знаков на концах

   f(0) = a + 1, f(1) = a − 2 + 2a + a + 1 = 4a − 1. Условие f(0)·f(1) < 0 ⇔ (a + 1)(4a − 1) < 0 ⇔ −1 < a < 1/4 — тот же промежуток; случая двух корней внутри (0; 1) нет, так как g монотонна.

5. Проверяем концы и записываем ответ

   При a = −1: −3x² − 2x = 0, корни 0 и −2/3 — на интервале (0; 1) их нет. При a = 1/4: умножив на −4, получим 7x² − 2x − 5 = 0, корни 1 и −5/7 — тоже нет. Ответ: a ∈ (−1; 1/4). Типичная ошибка — включить концы −1 и 1/4: корни 0 и 1 не принадлежат открытому интервалу.

Ответ: a ∈ (−1; 1/4)

4

Обоснованно получен ответ a ∈ (−1; 1/4): уравнение сведено к a = (2x² − 1)/(x + 1)², доказано возрастание функции на (0; 1) (или обосновано расположение корней через f(0)·f(1) < 0 и отсутствие двух корней), концы −1 и 1/4 исключены.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от (−1; 1/4) конечным числом точек: например, концы −1 и 1/4 включены или выколото a = 2.

2

С помощью верного рассуждения найдены обе граничные точки −1 и 1/4, но не обосновано, что других значений нет (не исследована монотонность или возможность двух корней на интервале).

1

Задача верно сведена к нахождению множества значений функции a = (2x² − 1)/(x + 1)² на (0; 1) или к условиям на знаки f(0) и f(1); либо верно найдена хотя бы одна граничная точка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.