Условие
Найдите все a, при которых система x²+y²=4, y=|x|+a имеет ровно три различных решения (x;y).
Подсказка
Любое решение с x≠0 имеет отличную парную точку (−x;y). Поэтому нечётное число решений возможно только при наличии решения с x=0.
При x=0 получаем y=a и a²=4. Значит проверять нужно только a=2 и a=−2.
Показать ответ
a=−2
Пошаговое решение
- Учитываем симметрию
Любое решение с x≠0 имеет отличную парную точку (−x;y). Поэтому нечётное число решений возможно только при наличии решения с x=0.
- Находим возможные параметры
При x=0 получаем y=a и a²=4. Значит проверять нужно только a=2 и a=−2.
- Вводим t=|x|
t≥0, а уравнение окружности принимает вид t²+(t+a)²=4. При a=2 это 2t(t+2)=0: допустимо лишь t=0, получается одно решение.
- Проверяем отрицательное значение
При a=−2 имеем 2t(t−2)=0. t=0 даёт (0;−2), t=2 даёт (2;0) и (−2;0).
- Доказываем полноту
Получено ровно три разные точки. Для остальных a решения с x=0 нет, а все другие идут парами. Единственный параметр a=−2.
Ответ: a=−2