ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Сравните левую часть с |a² − (2 − a)|: какое известное неравенство здесь работает и когда в нём равенство?

Изобразите на плоскости (x; a) прямую x = 2 − a и параболу x = a² и посмотрите на горизонтальные отрезки между ними.

1. Описываем множество корней

   Обозначим p = a², q = 2 − a; тогда |x + a − 2| = |x − q|, а правая часть равна p − q. Для любых x |x − p| + |x − q| ≥ |p − q| ≥ p − q, причём равенство |x − p| + |x − q| = |p − q| верно ровно для x между p и q. Поэтому при p − q = a² + a − 2 < 0, то есть при −2 < a < 1, корней нет, а при a ≤ −2 или a ≥ 1 множество корней — отрезок [2 − a; a²].

2. Смотрим на плоскость (x; a)

   Прямая x = 2 − a и парабола x = a² пересекаются в точках (4; −2) и (1; 1). При a ≤ −2 и a ≥ 1 корни — горизонтальный отрезок между ними; нужно, чтобы он содержал ровно три целых числа.

3. Ветвь a ≥ 1

   При 1 ≤ a < 2 левый конец 2 − a ∈ (0; 1], поэтому наименьшее целое в отрезке — 1. Ровно три целых (1, 2, 3) будут, если 3 ≤ a² < 4, то есть √3 ≤ a < 2. При a ≥ 2 имеем 2 − a ≤ 0 и a² ≥ 4: в отрезке есть 0, 1, 2, 3, 4 — уже пять целых.

4. Ветвь a ≤ −2

   При a = −2 отрезок [4; 4] — одно целое. При −3 < a < −2 левый конец 2 − a ∈ (4; 5), наименьшее целое — 5; ровно 5, 6, 7 будут при 7 ≤ a² < 8, то есть −2√2 < a ≤ −√7. При a ≤ −3 имеем 2 − a ≥ 5, а длина отрезка a² + a − 2 ≥ 4, поэтому целых не меньше четырёх (при a = −3 это 5, 6, 7, 8, 9).

5. Проверяем концы и записываем ответ

   a = −√7: отрезок [2 + √7; 7] ≈ [4,65; 7] — числа 5, 6, 7; a = −2√2: [2 + 2√2; 8] содержит уже четыре целых; a = √3: [2 − √3; 3] ≈ [0,27; 3] — 1, 2, 3; a = 2: [0; 4] — пять целых. Ответ: a ∈ (−2√2; −√7] ∪ [√3; 2). Типичная ошибка — не заметить, что при −2 < a < 1 правая часть отрицательна и корней нет, и искать целые точки на «перевёрнутом» отрезке [a²; 2 − a].

Ответ: a ∈ (−2√2; −√7] ∪ [√3; 2)

4

Обоснованно получен ответ a ∈ (−2√2; −√7] ∪ [√3; 2): доказано, что множество корней — отрезок [2 − a; a²] при a ≤ −2 или a ≥ 1 и пусто при −2 < a < 1, на обеих ветвях верно найдены условия ровно трёх целых точек, концы проверены.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: неверно включены или исключены концы −2√2, −√7, √3 или 2.

2

С помощью верного рассуждения найдены все граничные точки −2√2, −√7, √3, 2, но промежутки по ним составлены неверно (например, исследована только ветвь a ≥ 1).

1

Уравнение верно сведено к условию 2 − a ≤ x ≤ a² (при a² + a − 2 ≥ 0) с изображением на плоскости (x; a) или аналитически, ИЛИ верно найдена хотя бы одна граничная точка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.