Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x² − 2x + 2 + |a² + 2a − 8| = sin(πax/4) имеет хотя бы один корень.
Подсказка
Выделите полный квадрат в x² − 2x + 2. Какое наименьшее значение у левой части?
Какое наибольшее значение может принимать синус? Когда обе части могут совпасть?
Показать ответ
a = 2
Пошаговое решение
- Оцениваем левую часть
x² − 2x + 2 = (x − 1)² + 1 ≥ 1, модуль неотрицателен. Значит, левая часть не меньше 1, причём равна 1 только при x = 1 и a² + 2a − 8 = 0.
- Оцениваем правую часть
Синус любого числа не больше 1: sin(πax/4) ≤ 1. Значит, равенство частей возможно, только если обе они равны 1: левая не может опуститься ниже 1, правая — подняться выше.
- Записываем систему условий
x = 1, a² + 2a − 8 = 0 и sin(πa·1/4) = 1. Из квадратного уравнения (a + 4)(a − 2) = 0: a = −4 или a = 2.
- Проверяем каждого кандидата
a = 2: sin(2π/4) = sin(π/2) = 1 — условие выполнено, x = 1 — корень. a = −4: sin(−4π/4) = sin(−π) = 0 ≠ 1: при x = 1 слева 1, справа 0, а при x ≠ 1 левая часть больше 1 ≥ правой. Корней нет.
- Записываем ответ
При a, отличных от 2 и −4, модуль положителен, левая часть больше 1 и корней нет. Ответ: a = 2. Типичная ошибка — оставить в ответе a = −4, найдя его из модуля и не подставив в правую часть.
Ответ: a = 2
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Обоснованно получен ответ a = 2: доказано, что левая часть ≥ 1, а правая ≤ 1, составлена система x = 1, a² + 2a − 8 = 0, sin(πa/4) = 1, значение a = −4 проверено и отброшено.
- 3
- С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, ответ a = −4; a = 2 (кандидат −4 не подставлен в синус).
- 2
- Верно применён метод оценки и получены оба кандидата a = −4 и a = 2, но отбор проведён с ошибкой или не доведён до ответа.
- 1
- Верно оценена хотя бы одна часть уравнения (левая ≥ 1 или правая ≤ 1) и задача сведена к случаю равенства обеих частей единице, либо верно найдено a = 2.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.