Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (a − 2)x² − 2ax + 2a + 3 = 0 имеет два различных корня, каждый из которых больше 1.
Подсказка
Не забудьте отдельно рассмотреть значение a, при котором уравнение перестаёт быть квадратным.
Оба корня по одну сторону от числа 1: сравните знак f(1) со знаком старшего коэффициента и положение вершины.
Показать ответ
a ∈ (2; 3)
Пошаговое решение
- Разбираем случай a = 2
При a = 2 уравнение линейное: −4x + 7 = 0, x = 7/4 — корень один, а нужны два. Значит, a = 2 не подходит, и дальше f(x) = (a − 2)x² − 2ax + 2a + 3 — квадратный трёхчлен.
- Записываем условия расположения корней
Оба корня больше 1 тогда и только тогда, когда: D > 0 (корней два); (a − 2)·f(1) > 0 (число 1 не лежит между корнями и не является корнем — знак f(1) совпадает со знаком старшего коэффициента); абсцисса вершины x₀ = a/(a − 2) > 1 (корни лежат справа от 1, а не слева).
- Решаем каждое условие
D/4 = a² − (a − 2)(2a + 3) = −a² + a + 6 = −(a − 3)(a + 2) > 0 ⇔ −2 < a < 3. f(1) = a − 2 − 2a + 2a + 3 = a + 1, условие (a − 2)(a + 1) > 0 ⇔ a < −1 или a > 2. x₀ − 1 = a/(a − 2) − 1 = 2/(a − 2) > 0 ⇔ a > 2.
- Пересекаем условия
(−2; 3) ∩ ((−∞; −1) ∪ (2; +∞)) ∩ (2; +∞) = (2; 3). Условие на вершину существенно: без него получилось бы ещё (−2; −1). Например, при a = −3/2 уравнение −(7/2)x² + 3x = 0 имеет корни 0 и 6/7 — оба меньше 1.
- Проверяем границы и записываем ответ
При a = 3 уравнение x² − 6x + 9 = 0 имеет один двойной корень 3 — двух различных корней нет. Контроль внутри: при a = 5/2 получаем (1/2)x² − 5x + 8 = 0, то есть x² − 10x + 16 = 0, корни 2 и 8 больше 1. Ответ: a ∈ (2; 3). Типичная ошибка — пропустить условие x₀ > 1 и добавить промежуток (−2; −1).
Ответ: a ∈ (2; 3)
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Обоснованно получен ответ a ∈ (2; 3): рассмотрен линейный случай a = 2, записана и верно решена система D > 0, (a − 2)·f(1) > 0, a/(a − 2) > 1, исключено a = 3 (двойной корень).
- 3
- С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от (2; 3) конечным числом точек: например, включено a = 3 или a = 2 без разбора линейного случая.
- 2
- С помощью верного рассуждения найдены граничные точки 2 и 3, но множество записано неверно, например из-за пропущенного условия на вершину добавлен промежуток (−2; −1).
- 1
- Задача верно сведена к системе условий на D, знак f(1) и положение вершины, или верно найдена хотя бы одна граничная точка (2 или 3).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.