ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Сделайте замену t = x² и выясните, сколько корней x даёт положительное, нулевое и отрицательное t.

Два корня x получаются, если у уравнения относительно t корни разных знаков или один двойной положительный.

1. Делаем замену и описываем, сколько корней x даёт каждый корень t

   Пусть t = x², тогда t ≥ 0 и уравнение принимает вид g(t) = t² − 2at + 5a − 6 = 0. Каждый положительный корень t даёт два корня x = ±√t, корень t = 0 — один корень x = 0, отрицательный корень t — ни одного. Разным значениям t соответствуют разные x, поэтому корни x считаются по корням t.

2. Перечисляем случаи, когда корней x ровно два

   Если у g два различных положительных корня — корней x четыре; положительный и нулевой — три; положительный и отрицательный — два; один двойной положительный — два; остальные наборы дают 0 или 1 корень x. Значит, нужно: (1) корни t разных знаков или (2) двойной положительный корень.

3. Случай (1): корни разных знаков

   По теореме Виета произведение корней равно 5a − 6. Корни разных знаков тогда и только тогда, когда 5a − 6 < 0, то есть a < 6/5 (при отрицательном произведении дискриминант автоматически положителен).

4. Случай (2): двойной положительный корень

   D/4 = a² − (5a − 6) = a² − 5a + 6 = (a − 2)(a − 3) = 0, откуда a = 2 или a = 3. Двойной корень t = a: при a = 2 это t = 2 > 0 (корни x = ±√2), при a = 3 — t = 3 > 0 (x = ±√3). Оба значения подходят.

5. Проверяем граничное значение и записываем ответ

   При a = 6/5: g(t) = t² − (12/5)t = 0, t = 0 или t = 12/5, корни x = 0 и x = ±√(12/5) — их три, значение исключаем. Контроль: при a = 0 уравнение x⁴ = 6 имеет ровно два корня. Ответ: a ∈ (−∞; 6/5); a = 2; a = 3. Типичные ошибки — включить a = 6/5 (корень t = 0 даёт ещё и x = 0) или потерять случай D = 0.

Ответ: a ∈ (−∞; 6/5); a = 2; a = 3

4

Обоснованно получен ответ a ∈ (−∞; 6/5); a = 2; a = 3: после замены t = x² ≥ 0 разобраны случай корней разных знаков (5a − 6 < 0) и случай двойного положительного корня (a = 2 и a = 3), исключено a = 6/5.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, включено a = 6/5 (при нём корней три) или потеряно одно из значений a = 2, a = 3.

2

С помощью верного рассуждения найдены все граничные точки 6/5, 2 и 3, но множество значений a записано неверно (например, неверно разобран случай нулевого корня t или знак 5a − 6).

1

Задача верно сведена к исследованию уравнения t² − 2at + 5a − 6 = 0 при t ≥ 0 с указанием числа корней x для каждого t, или верно найдена хотя бы одна из точек 6/5, 2, 3.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.