Условие
Для двузначного натурального числа, в записи которого нет нуля, вычисляют отношение этого числа к произведению его цифр. а) Может ли это отношение равняться 2? б) Может ли это отношение равняться 5? в) Найдите наименьшее значение этого отношения для двузначных чисел с различными цифрами.
Подсказка
Разделите почленно: (10a + b)/(ab) = 10/b + 1/a.
В пункте б воспользуйтесь тем, что a и ka − 1 взаимно просты.
Показать ответ
а) да, например 36; б) нет; в) 89/72
Пошаговое решение
- Записываем отношение
Пусть число 10a + b, где a, b — цифры от 1 до 9. Отношение равно (10a + b)/(ab) = 10/b + 1/a. Отношение равно k ⇔ 10a + b = kab ⇔ b(ka − 1) = 10a.
- Пункт а: пример
При k = 2: b(2a − 1) = 10a. Число 2a − 1 взаимно просто с a, поэтому делит 10: 2a − 1 равно 1 или 5. a = 1 даёт b = 10 — не цифра, a = 3 даёт b = 6. Число 36: 36 : (3·6) = 36 : 18 = 2. Ответ: да.
- Пункт б: доказываем невозможность
При k = 5: b(5a − 1) = 10a. НОД(a, 5a − 1) = 1 (общий делитель a и 5a − 1 делит 1), значит, 5a − 1 делит 10, то есть 5a − 1 равно 1, 2, 5 или 10. Ни одно из этих равенств не даёт целого a (a = 2/5; 3/5; 6/5; 11/5). Ответ: нет.
- Пункт в: оценка
Оба слагаемых 10/b и 1/a уменьшаются с ростом цифр. Если b = 9, то a ≠ 9, a ≤ 8, и отношение ≥ 10/9 + 1/8 = 89/72. Если b ≤ 8, то отношение ≥ 10/8 + 1/9 = 49/36 = 98/72 > 89/72. Значит, отношение не меньше 89/72.
- Пример и проверка
Число 89: 89 : (8·9) = 89/72 — оценка достигается. Типичная ошибка — взять 99 (отношение 11/9), хотя цифры должны быть различны, или 98: 98/72 = 49/36 больше, потому что в знаменатель слагаемого 10/b выгоднее поставить большую цифру.
Ответ: а) да, например 36; б) нет; в) 89/72
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: (1) обоснованно решён пункт а — пример 36 с проверкой 36 : 18 = 2; (2) обоснованно решён пункт б — уравнение b(5a − 1) = 10a сведено к делителям 10 и показано, что целых a нет; (3) в пункте в доказана оценка — доказано, что при различных цифрах отношение не меньше 89/72 (разобраны случаи b = 9 и b ≤ 8); (4) в пункте в приведён пример, на котором оценка достигается, — число 89 с отношением 89/72.
- 3
- Верно получены три результата из четырёх. Например, решены пункты а и б и в пункте в приведён пример (число 89 с отношением 89/72), но оценка не доказана или доказана с пробелом; либо пункт в решён полностью, а один из пунктов а, б не обоснован.
- 2
- Верно получены два результата из четырёх. Например, обоснованно решены только пункты а и б (пример 36 с проверкой 36 : 18 = 2; уравнение b(5a − 1) = 10a сведено к делителям 10 и показано, что целых a нет), а в пункте в нет ни доказанной оценки, ни примера; либо в пункте в есть и оценка, и пример, а пункты а и б не решены.
- 1
- Верно получен один результат из четырёх. Например, только обоснованно решён пункт а (пример 36 с проверкой 36 : 18 = 2), либо только приведён верный пример в пункте в (число 89 с отношением 89/72) без оценки, а остальные пункты не решены или решены неверно.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.