Условие
Медианы треугольника ABC пересекаются в точке O, CK — медиана, CK=15. Найдите длину вектора OA+OB.
Подсказка
K — середина AB. Чему равна сумма векторов OA и OB, если достроить их до параллелограмма?
Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.
Показать ответ
10
Пошаговое решение
- Складываем OA и OB по правилу параллелограмма
Векторы OA и OB выходят из точки O. Их сумма — диагональ параллелограмма, построенного на OA и OB. Диагонали параллелограмма делятся пополам, а вторая диагональ — это AB, её середина K. Значит, диагональ из O проходит через K и вдвое длиннее OK: OA+OB=2·OK.
- Находим OK
Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины: CO:OK=2:1. Поэтому OK=CK/3=15/3=5.
- Находим длину суммы
Длина вектора 2·OK вдвое больше длины OK, поэтому |OA+OB|=2·OK=2·5=10. Длины сторон треугольника для ответа не нужны — важна только медиана CK.
- Проверяем другим способом
Для точки пересечения медиан OA+OB+OC=0, поэтому OA+OB=−OC и |OA+OB|=OC. OC=⅔·CK=⅔·15=10 — совпало. Типичная ошибка — считать, что O делит медиану пополам, и получить 15.
Ответ: 10