Условие
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены два вектора a и b (см. рисунок). Найдите скалярное произведение a·b.
Подсказка
Координаты вектора — это «конец минус начало»: сколько клеток вправо и сколько вверх.
Скалярное произведение по координатам: x₁·x₂+y₁·y₂.
Показать ответ
7
Пошаговое решение
- Считываем координаты векторов по клеткам
Координаты вектора равны разности координат конца и начала: считаем, на сколько клеток стрелка сдвигается вправо (плюс) или влево (минус) и вверх (плюс) или вниз (минус). Поставим начало отсчёта в левый нижний узел сетки, тогда a=(5−1; 3−4)=(4; −1); b=(10−7; 6−1)=(3; 5). Проверка по клеткам: стрелка a идёт на 4 клетки вправо и на 1 вниз, стрелка b — на 3 вправо и на 5 вверх.
- Вспоминаем формулу скалярного произведения
Для векторов с координатами (x₁; y₁) и (x₂; y₂) скалярное произведение равно x₁·x₂+y₁·y₂: перемножаем абсциссы, перемножаем ординаты и складываем. Векторы при этом не нужно переносить в одну точку — важны только координаты.
- Вычисляем
a·b=4·3+(−1)·5=12+(−5)=7.
- Проверяем знак ответа
Скалярное произведение положительно, значит, угол между векторами острый; на рисунке a направлен вправо-вниз, b — вправо-вверх, и угол между ними действительно меньше 90°. Частая ошибка — перепутать начало и конец одной из стрелок: этот вектор сменит знак, и получится −7 вместо 7.
Ответ: 7