Условие
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=9, BC=12. Найдите скалярное произведение векторов AB и AC.
Подсказка
Разложите вектор AB на два перпендикулярных: вдоль AC и вдоль CB.
Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.
Показать ответ
81
Пошаговое решение
- Находим гипотенузу
Векторы AB и AC выходят из точки A, угол между ними — угол A треугольника. Для формулы a·b=|a|·|b|·cos φ нужна длина AB: AB²=9²+12²=81+144=225, AB=15.
- Находим косинус угла A
В прямоугольном треугольнике косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos A=AC/AB=9/15.
- Считаем скалярное произведение
AB·AC=|AB|·|AC|·cos A=15·9·(9/15)=9·9=81. Длина гипотенузы сократилась.
- Проверяем разложением
AB=AC+CB, а CB ⊥ AC. Тогда AB·AC=AC·AC+CB·AC=|AC|²+0=9²=81: скалярное произведение равно длине AC, умноженной на проекцию AB на прямую AC, а эта проекция и есть AC. Катет BC=12 в ответ не входит.
Ответ: 81