Условие
На клетчатой бумаге с клетками размером 1×1 нарисованы векторы a и b. Найдите угол между векторами a и b. Ответ дайте в градусах.
Подсказка
Найдите координаты обоих векторов и их скалярное произведение.
cos φ=(a·b)/(|a|·|b|); вспомните, у какого угла косинус равен ±√2/2.
Знак скалярного произведения подсказывает, острый угол или тупой.
Показать ответ
135
Пошаговое решение
- Записываем координаты векторов
Координаты вектора равны разности координат конца и начала: считаем, на сколько клеток стрелка сдвигается вправо (плюс) или влево (минус) и вверх (плюс) или вниз (минус). Поставим начало отсчёта в левый нижний узел сетки, тогда a=(3−2; 4−1)=(1; 3); b=(7−9; 4−5)=(−2; −1).
- Находим скалярное произведение и длины
a·b=1·(−2)+3·(−1)=−2−3=−5. |a|=√(1²+3²)=√10, |b|=√((−2)²+(−1)²)=√5.
- Находим косинус угла
cos φ=(a·b)/(|a|·|b|)=−5/(√10·√5)=−5/√50. Так как √50=√(5²·2)=5√2, получаем cos φ=−5/(5√2)=−1/√2=−√2/2.
- Определяем угол
Косинус отрицателен, значит, угол тупой. Острый угол с косинусом √2/2 равен 45°, а тупой угол с косинусом −√2/2 равен 180°−45°=135°. Угол между векторами берётся от 0° до 180°, поэтому ответ 135°, а не 45°: векторы нельзя «разворачивать».
Ответ: 135