Условие
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены вектор a и четыре вектора, пронумерованные числами 1, 2, 3, 4. Один из пронумерованных векторов перпендикулярен вектору a. Укажите его номер.
Подсказка
Перпендикулярные векторы имеют нулевое скалярное произведение.
Найдите координаты каждого пронумерованного вектора и перемножьте с координатами a.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Находим координаты вектора a
Координаты вектора равны разности координат конца и начала: считаем, на сколько клеток стрелка сдвигается вправо (плюс) или влево (минус) и вверх (плюс) или вниз (минус). Поставим начало отсчёта в левый нижний узел сетки, тогда a=(4−1; 3−2)=(3; 1).
- Вспоминаем признак перпендикулярности
Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: x₁·x₂+y₁·y₂=0. На глаз угол в 90° на клетках легко спутать с углом 80° или 100°, поэтому проверяем вычислением.
- Считываем пронумерованные векторы и проверяем каждый
Обозначим вектор с номером k через vk. Вектор 1: (1; 3), a·v1=3·1+1·3=6; вектор 2: (−2; 3), a·v2=3·(−2)+1·3=−3; вектор 3: (−1; 3), a·v3=3·(−1)+1·3=0; вектор 4: (3; −1), a·v4=3·3+1·(−1)=8.
- Выбираем ответ
Нулевое скалярное произведение только у вектора 3. Обратите внимание на вектор (1; 3): он получен перестановкой координат a, но без смены знака — это не перпендикуляр. Перпендикуляр к (x; y) получается как (−y; x) или (y; −x).
Ответ: 3