Условие
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисован четырёхугольник ABCD. Найдите скалярное произведение векторов AC и BD, идущих по его диагоналям.
Подсказка
Введите систему координат по линиям сетки и запишите координаты вершин.
Вектор BD — это «D минус B», а не «B минус D».
Показать ответ
25
Пошаговое решение
- Вводим координаты вершин
Поставим начало координат в левый нижний узел сетки, ось x направим вправо, ось y — вверх. По клеткам: A(1; 1), B(3; 5), C(9; 6), D(8; 2). Ответ не зависит от выбора начала: координаты векторов — это разности, сдвиг сокращается.
- Находим координаты векторов-диагоналей
Вектор идёт из первой названной точки во вторую: AC=(9−1; 6−1)=(8; 5), BD=(8−3; 2−5)=(5; −3).
- Вычисляем скалярное произведение
AC·BD=8·5+5·(−3)=40+(−15)=25.
- Проверяем по квадратам сторон
Верно тождество AC·BD=(AD²+BC²−AB²−CD²)/2. По клеткам AD²=50, BC²=37, AB²=20, CD²=17: (50+37−20−17)/2=25 — совпало. Ошибка — взять вектор DB вместо BD: знак ответа изменится.
Ответ: 25