Условие
В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны BC, а точка L лежит на стороне CD, причём CL:LD=1:3. Вектор KL разложили по векторам AB и AD: KL=x·AB+y·AD. Найдите x+y.
Подсказка
Пройдите от K к L по сторонам параллелограмма: сначала до вершины C, потом до точки L.
Какой из векторов AB и AD параллелен стороне CD и как он направлен относительно вектора CD?
Показать ответ
0,25
Пошаговое решение
- Идём от K к L по сторонам
По правилу треугольника KL=KC+CL: из точки K доходим по стороне BC до вершины C, затем по стороне CD до точки L. Каждое слагаемое выразим через AB и AD.
- Выражаем KC
Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, а векторы BC и AD направлены одинаково, поэтому BC=AD. K — середина BC, значит, KC=½·BC=½·AD.
- Выражаем CL
CL:LD=1:3, поэтому CL составляет 1/(1+3)=1/4 стороны CD: CL=(1/4)·CD. Вектор CD противоположен вектору AB (DC=AB, а CD идёт в обратную сторону), то есть CD=−AB. Получаем CL=−0,25·AB.
- Собираем разложение
KL=KC+CL=−0,25·AB+0,5·AD, значит, x=−0,25, y=0,5 и x+y=−0,25+0,5=0,25. Типичная ошибка — считать CD=AB и потерять минус: тогда получится x=0,25 и x+y=0,75.
Ответ: 0,25